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1934年
卡尔·门格尔（1902年1月13日—1985年10月5日） 用德文发表了《论不确定性在经济学中的角色》（Das Unsicherheitsmoment in der Wertlehre），后由沃尔夫冈·绍尔科普夫在马丁·舒比克所编著的《纪念奥斯卡·摩根斯顿数理经济学论文集》（Princeton University Press，1967年）中翻译成英文。
风险规避、圣彼得堡悖论、期望效用、对数效用、分散化、韦伯-费希纳精神物理学定律、有界效用函数
帕斯卡和费马（1654）在解决点数问题时假定赌博的价格等于它的期望价值。惠更斯（1657）亦是在该假设基础上形成了完整的机遇理论。而伯努利的经典之作（1738）则始于这样一个观点：由于风险规避的存在，赌博的价格低于其期望价值。伯努利用圣彼得堡悖论证明了风险规避的合理性。如果有机会让你抛掷硬币直到硬币第一次正面朝上，你愿意为该机会支付多少钱呢？假如在抛掷第n次时硬币首次正面朝上，你获得2 n美元。该赌博的期望价值为
虽然该赌博的期望价值是无穷大，但你愿意支付的价格肯定只是有限数目，而且毫无疑问远远低于你的财富总和。因此，赌博的价格肯定低于其期望价值。
为了解决该问题，伯努利提出每个人都是最大化其期望效用，伯努利有时称为“道德期望”。伯努利还特别建议使用效用函数U（W），该函数的特征是“任何幅度的财富增加所产生的效用与之前持有的财产数量（W）成反比”，即：
该方程的解为U（W）=a+b（lnW），或者将效用直接表达为logW的递增线性表达式。这样的话，赌博的期望效用变为
该等式说明，个人最多愿意为赌博支付4个达克特。伯努利指出，是他的表弟尼古拉斯·伯努利（1687年10月10日—1759年11月29日）首次提出了圣彼得堡悖论。尼古拉斯原来坚信期望价值是公平本质的体现，可是悖论的发现打乱了他的信念，这让他非常苦恼。丹尼尔还指出，早在他之前好几年，数学家加百列·克莱姆在1728年写给尼古拉斯的一封信中就提出过自己的解法。
早于马科维茨（1952）和罗伊（1952），丹尼尔还提出风险规避的投资者希望资产分散化：“……应该明智地将各种不同风险的资产分散开来而不是将他们集中在一起。”第一个意识到分散化好处的人并不是伯努利。根据犹太法典《塔木德》的建议，“一个人应该以三种形式保存自己的财富：1/3存于房地产，另1/3存于货物，还有1/3存于流动资产。”在《威尼斯商人》第一场第一幕，威廉·莎士比亚就让安东尼说道：
……我感谢我的财富。我的买卖的成败并不完全寄托在一艘船上，更不是依赖某一处地方。我的全部财产，也不会因为这一年的盈亏而受影响。
虽然《威尼斯商人》后来的剧情说明安东尼的安全措施并不妥当。但在幕布刚刚拉开时，安东尼对自己的财产非常放心，因为他将投资分散于不同船只、不同地点以及不同时间。
1851年，恩斯特·海因里希·韦伯（1795年6月24日—1878年1月26日）在《触觉感官与一般敏感性》（Der Tastsinn und das Gemeingefühl）一书中应用了伯努利的对数效用。该书成为试验心理学的奠基之作之一。在该书中，韦伯将人能觉察出的刺激强度的最小变化定义为“差别感觉阈限”或“最小觉差”。他认为，刺激强度的变化除以初始刺激强度得到的是一个常数（韦伯定律）。1860年，古斯塔夫·西奥多·费希纳（1801年4月19日—1887年11月18日）在《心理物理学纲要》（Elemente der Psychophysik）中用该定律解释：虽然人的大脑和身体看起来是分离的，但它们其实是对同一现实做出不同的反应。他认为，感觉量（大脑所经历的）的变化与韦伯定律中的常数成比例。
门格尔指出，凹性效用——就是现在所说的“边际效用递减”——并不足以解决广义形式的圣彼得堡悖论 4。例如，假设在第n次投掷中硬币正面首次向上，赌博的奖金是e的2 n次幂。则赌博的期望对数效用为
门格尔指出，只要效用函数是有限的，圣彼得堡类型的赌博就存在，其期望效用是无限的。因此，许多经济学家认为，虽然效用有限仍是个有争议的问题，但有限性是一个合理效用函数存在的前提。
门格尔还分析了解决该悖论的另一个方法，该方法后来被行为经济学家重拾。即：个人倾向于完全忽略小概率事件产生的结果。该方法在很早之前由数学家布丰（1707年9月7日—1788年4月16日）于1777年在《或然算数试验》（Essaid'arithmétique morale）一文中提出。门格尔指出，人们容易低估极端事件的概率，可能是极小概率事件也可能是极大概率事件，从而高估中间事件的概率。
门格尔有关无界性的观察使得肯尼思·约瑟夫·阿罗（1965）提出，不是所有的不确定性结果都满足冯·诺伊曼和摩根斯坦公理（1947），因为只要效用函数被指定为有界的，或者有上界或者有下界，那么完整性公理和持续性公理都将被门格尔类型的圣彼得堡悖论打破。 [17]例如，我们可以想想这样两种赌博，第一个赌博明显优于第二个，但两个赌博的期望效用都是无限的。不过，这些异想天开的想法并不能难倒像保罗·安东尼·萨缪尔森这样的人。萨缪尔森（1977）安慰道：尽管这类赌博吸引了诸多有思想的试验，“但在现实生活中并不是很重要”。 [18]然而，在不确定经济学的发展过程中，该悖论的确起了长期的、重大的作用，使得萨缪尔森不得不总结说：“它在高等知识分子的脑海中拥有崇高的地位”。
萨缪尔森提出了一个更令人困扰的拒绝无界效用函数的问题，即便没有圣彼得堡悖论无限性的存在，该问题仍会出现。假设某人可以确定得到报酬X（X为金额较大的数值）。如果他的期望效用无上界，那么总会存在一个更大的数Y，使得即便得到的概率很低他也很想得到。无界效用即是非饱和性的一个极端形式。另一方面，在pp.209～211中，阿罗（1974）证明：如果效用函数U（X）单调递增，成凹性，U（0）有界，而且E（X）有界，那么E［U（X）］就是有界的。 [19]因此，如果具有无穷期望价值的圣彼得堡式赌博在现实情况中不存在，那么即便是无上界的效用函数也不会存在问题。