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1985年
集合、异质信念、市场等价定理、投资组合分离、状态证券、一致的投资者和混合投资者、对数效用、一般人或典型人
鲁宾斯坦（1974）将威尔森（1968）提出的特别一般化的群体决策集理论应用于证券市场均衡问题。鲁宾斯坦推导了在多种状态下标准金融模型的条件。在这些状态中，虽然消费者/投资者在财富、耐心、风险规避以及信念方面可能存在异质性，但价格被设定时仿佛只存在一个典型的消费者/投资者，他的财富、耐心、风险规避以及信念是所有个体消费者/投资者上述特征的简单集合。
该文首次将市场等价定理运用于明显的不完备市场，但该市场具有投资组合分离的特征（所有投资者都从相同的两只共同基金中做出最优选择，其中一只是无风险的）；在那样的条件下，如果假设存在一个完全的状态价格集（完备市场），那么最优选择和均衡价格将是一样的。
简化状态证券的投资组合选择问题
看看标准投资组合选择问题：
其中，W 0是当前财富，r sj是证券j=0，1，2…，m在状态s的收益，p s是状态s的主观概率，x j是证券j占投资者投资组合的比例。x j>0表示购买，x j<0表示售出，所有财富都分配给证券，这样Σ jx j=1。W s1≡W 0Σ jx jr sj可以理解为随机未来财富——来自投资者决策（x j）以及自然对发生状态的决策的总和结果。U（W s1）是给定未来财富W s1的效用。为了找到最优投资组合决策，我通常使用拉格朗日乘数λ，将问题改写为：
对x j求微分，让导数等于0，就得到条件：Σ sP s[U′W js1r sj]=λ/W 0。这是说，在投资组合的最优集中，所有证券所赚取收益的期望边际效用都是相等的，而且都等于λ/W 0。一般来说，无法以解析形式解答该问题。为了说明清楚，我们假设有3种状态（s=1，2，3）与3只证券（j=1，2，3），用r sj表示证券j在状态s的收益，我们可以如下表达：
我们有4个方程，4个未知数：λ和（x 0，x 1，x 2）。但由于U′（W 1）通常是W 1的非线性函数（由于风险规避的存在），因此这些方程无法通过解析方法解出。也就是说，每个未知数在方程式的左边，那么其右边仍含有其他未知数。
现在，我们假设存在一个完备市场，投资者可以购买完全的状态证券集。在这样的情况下，投资组合选择问题可以表述为：
其中，x s为状态证券占投资者投资组合的比例，该证券只在状态s下才有收益。r s为状态证券s的收益（如果状态s发生，该收益仅为非负）。这样，W s1≡W 0x sr s可以理解为投资者在状态s的未来财富。与前面一样，不过这里对x s求微分，我们得到：p sU′（W 0x sr s）r s=λ/W 0。再次，在三种状态下，我们需要解如下方程求出λ和（x 1，x 2，x 3）：
显然，这些方程解起来要容易得多。
该文献区分了一致与混合的经济特征。在两种情况下，均衡价格被设定时，仿佛只有一个典型参与者，该参与者具有一致或混合的经济特征。混合特征只依赖于外生指定参数（特别的，它们不依赖价格），而一致特征还取决于类似于价格这样的外生于经济体的变量。
迈克·约翰·布伦南和艾伦·克劳斯（1978） [98]定义集合问题为均衡证券价格的派生问题，均衡证券价格取决于投资者的初始财富分配。这是一个比威尔森（1968）提出的更强的假设，因此结论肯定是威尔森结论的一个子集。虽然鲁宾斯坦推导了一系列集合的充分条件，但布伦南和克劳斯指出，那些仍然只是必要条件。早期提供确定经济体下类似结论的研究包括：①W.M.戈尔曼（1953） [99]，其研究发现，集合的必要条件，正如布伦南和克劳斯所定义的，是投资者的恩格尔曲线必须是平行的直线。该条件首次是由乔瓦尼·巴蒂斯塔·安东内利（1886） [100]发现并非公开出版。②罗伯特A.波拉克（1971） [101]，其研究指出，投资者有线性恩格尔曲线的充分必要条件是HARA效用。
鲁宾斯坦（1974）还包含了一个关于异质概率信念集合的新结论，分析环境可能是最简单的理性竞争均衡模型，其中风险规避体现了这种形式的异质性。
对异质信念经济系统的说明
特别的，令：
s=1，…，S列举了可能状态的全部集合，其中只有1种会发生在日期1。
π s是指当且仅当状态s发生时在日期收到的1美元在日期0的价格。
i=1，…，I列举了经济体中不同投资者的集合，他们的唯一区别在于其分配给各个状态的概率。
p is为投资者i认为状态s将会发生的主观概率。
C is为投资者i选择将在状态s消费的金额。
W 0为各位投资者在日期0的初始财富；在初始交易之前，它由日期1的给定禀赋构成。每个投资者i各个状态下消费额的选择受到约束：其现值等于投资者的初始财富 。
假设每位投资者的目标是最大化日期1消费的期望对数效用Σ sp isln（C is）。因此，我们可以简洁地将每位投资者的问题写为：
其中，λ i是投资者i的拉格朗日乘数。对C is求微分，就得到最大化的一阶条件为：
通过对各个状态求和，利用特征Σ sp is＝1，并代入财富约束，不难得出λ i＝1/W 0。将式子代入一阶条件等式，我们得到：
上式有着非常明确、直观的意义，即在其他条件一样的情况下，任何投资者在状态s下最优的消费额随着其当前财富（W 0）的增加而增加，随着他分配给状态s的概率的增加而增加，随着在状态s获得收益的成本的增加而减少。
而且，对所有投资者我们求上式之和，便得到：
其中， 。C Ms的直观解释为人均消费。通过重新组合，我们可以看到，在均衡状态下，状态价格被设定，仿佛只存在一个典型参与者，他的主观信念p Ms是经济体内所有投资者单独信念的简单算术平均。即，
在其他条件不变的情况下，平均信念越高，状态价格就越高。 33
我们现在面临一个重要的问题：投资者之间的异质信念在多大程度上影响均衡价格？特别是，不同投资者信念的日趋分散是否会对证券价格产生系统性影响？为了独立出单纯的分散影响，假设在一个给定状态不同投资者之间存在“均值保持展形”信念。信念变化的同时算术平均（均值）信念保持不变。例如只有2个投资者i=1，2，且对于给定状态s，p 1s＝0.3，p 2s＝0.5，平均信念p Ms＝（0.3+0.5）/2=0.4，要使信念变化但均值保持不变，一个例子就是p 1s＝0.1，p 2s＝0.7，平均信念p Ms＝（0.1+0.7）/2=0.4仍保持不变。在这里，重要的只有均值；单纯的信念分散没有影响。因此，我总结说，在对数效应例子中，从同质信念变化到异质信念对当前价格没有影响，因为影响价格的投资者信念的唯一特征是他们在各个状态下的均值。
然而，瓦里安（1985）指出，对数效用是个很有效的（在许多其他情况都是如此）。例如，如果我们更为一般地假设所有投资者的效用函数都是稳定相对风险规避（对数效用只是其中的一个特例），在投资者风险规避程度比对数效用更高（或更低）的经济体内，信念的单纯分散只会降低（或增加）当前的证券价格。瓦里安总结说，由于多项经验证据表明投资者的风险规避程度比对数效用更高，因此信念分散程度的增加会降低证券价格。
对瓦里安有关异质信念研究结论的直观解释
为了理解瓦里安分析背后的直观逻辑，我们首先再次看看对数效用的例子，投资者i对状态s的最优消费选择是：
接着我们刚才2位投资者的例子，信念分散增加的情况为p 1s从0.3变为0.1，p 2s从0.5变为0.7。第一位投资者可以减少消费 ΔC 1s=γ s（0.1-0.3）=-0.2γ s，第二位投资者可以增加消费ΔC 2s=γ s（0.7-0.5）=0.2γ s，两者刚好抵消，γ s（即状态价格）无须变化。然而，假设两位投资者具有更为普遍的指数效用函数[1/（1－b）]（C is） 1－b。这里，b表示（指数）风险规避，b取最小值0时表示风险中立，b增加表示风险规避程度越来越高。当b取1时，就变成对数效用函数。当b>1，投资者的风险规避程度就高于对数效用投资者。使用该效用函数，一阶条件可以写成：
对b＝2，考虑信念分散的相同变化：如果状态价格保持不变，则两位投资者希望变化的状态s消费为：
有些两项变化不是正好抵消，s的状态价格必要改变。事实上，如果价格没有变化，由于日趋悲观的投资者1预售出的大于日趋乐观的投资者2预买入的，状态s的价格将会下降使得两位投资者在状态s的消费变化额正好抵消。
康斯坦丁尼德斯（1982）同样将威尔森（1968）提出的特别一般化的群体决策集理论应用于证券市场均衡问题。康斯坦丁尼德斯推导出如下定理，作为假设典型人存在的依据。在一个具有完备、竞争、完全市场的交易经济体内，假设所有投资者/消费者拥有相同的信念和潜在不同的时性可加、状态依赖的效用函数，该函数为递增函数、严格凹性，并可导。另外还有一个类似的经济体（具有相同的均衡状态价格），该经济体内只有一个典型参与者（被赋予了总体消费额），他具有相同的信念，也同样有着时性可加的效用函数，同样是递增函数、严格凹性，并可导。康斯坦丁尼德斯指出，鲁宾斯坦（1976年秋季号）的集合消费比得到一个典型投资者的条件严格得多。不过，总体上说，要清楚地说明典型投资者的特征如何是个体投资者特质的集合并不容易。就这一点而言，鲁宾斯坦的特殊案例是非常有效的。