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注 释
前言
1.我最近发现1940年意大利数学家布鲁诺·德·费奈蒂（Bruno de Finetti）要比马科维茨和罗伊提前12年阐述了均值-方差投资组合理论，包括使用投资组合方差来度量风险、证券收益的协方差与投资组合方差之间的关系等式、均值-方差有效集合以及使用临界线算法来求解投资组合选择问题。尽管德·费奈蒂的文章用公式阐述了一般的二次规划问题，也包括了一般情况涉及的卖空约束，但只有不相关收益这一特殊情况被完全求解。他的文章使用的是意大利文书写的，使得该文不为金融经济学家所知晓，直至最近被我注意到并翻译成英文。
古代时期：1950年之前
1.翻开内含《阿基米德方法》的“阿基米德重写本”的最近翻译版，最后一页显然是准备开始另一项工作，而这项工作似乎与组合数学相关。
2.帕斯卡和费马接着考虑了参与者不止两人时的一个重要推论。假设选手A还需要一分赢得比赛，而选手B和C各需要2分才能赢得比赛。此时，游戏最多需要进行三轮就能知道比赛结果。一个可能的结果是（a b b）。在这个结果中，尽管A和B最后的得分是一样的，但赢家仍然是A因为他是第一个率先获得所需分数的选手。这个简单的例子说明了我们现在称为“路径依赖”的重要性。例如，美式期权就具有路径依赖的特征：如果改变一项标的资产在不同时期收益的排列次序，那么该期权购买者的收益就会随之发生变化。
3.忍不住扯出个题外话，在300多年之后有人指出惠更斯的这个结果可能有问题。Ivo Schneider在Christian Huygens’Non-probabilistic Approach to the Calculus of Games of Chance（载于De Zeventiende Eeuw 第12卷，第1期（1996年），pp.171~185）一文中首次提出，该表得到的分配结果是受惠更斯假设限定的。每个参与者获得三种奖金A、B或C的机会是均等的，而且所有赌资都将付给参与者。但是如果我们自然地假定某位参与者获胜且在进行支付以后，他获得的奖金仍高于其他两位参与者。此时，我们就会发现不一致的地方。例如，如果P1获胜，显然我们可以得到A>B。但如果是P2获胜，在进行支付之后，他只得到C<A。难道当时最具数学头脑、分析谨慎的惠更斯出错了吗？从实质上看，惠更斯的分析确实存在问题。但技术上他并没有犯错，因为他从没有明确表示A>B，C。
4.萨维奇（1954，pp.94~95）明显错误地将发现有限效用的功劳归于克拉默所写的信件。对萨维奇出错的原因，Gilbert W.Bassett Jr在History of Political Economy，第19卷，第4期（1987年），pp.517~523的论文The St.Petersburg Paradox and Bounded Utility中进行了详细分析。我是从经济史学家Joseph Persky那里知道这些的，他曾请作者寄了份文章的复本给我。
5.阿罗与Jerzy Neyman编写的《数学统计与概率伯克利研讨会论文集》，1951年，版权属于University of California Press。经University of California Press许可由Copyright Clearance Center以普及版形式再版。
6.阿伯拉罕·棣莫弗所著的《运气学说》（The Doctrine of Chances）首次出版于1718年。第二版出版于1738年，内容包含了他的最重要研究成果——二项式的正态逼近。该部分内容他曾于1733年单独出版，名称为Approximatio ad Summam Terminorum Binomii（a+b） nin Seriem Expansi，内容长达7页。在作者去世后，该书第3版于1756年问世（New York：Chelsea Publishing Company，1967年）；该书部分内容《对运气的测度》（De Mensura Sortis）最早以52页拉丁文的篇幅发表在《皇家学会哲学学报》（Philosophhical Transactions of the Royal Society），第27卷（1710~1712），pp.213~264。
棣莫弗对数学的贡献巨大，包括他研究无限差分的结果、有限序列理论以及以他名字命名的三角定理。他对人寿年金的研究使他在保险学乃至投资学发展史上享有尊贵的低位。不过，他最为伟大的成就显然还是最早版的中心极限定理以及二项式的正态逼近。在这里，我们有看到斯蒂格勒法则的又一例证：法则或公式往往不是以它最早的发现者命名。如，正态分布有时被人称为“高斯”分布。高斯是为伟大的数学家，他在棣莫弗去世23年后才出生。Approximatio这本书最近才被Carl Pearson发现。Pearson于1924年发表了Historical Note on the Origin of the Normal Curve of Errors，载于Biometrika，第16卷，第3~4期（1924年12月），pp.402~404。该文对这本书进行了描述。Approximatio首次描述了正态分布事件，该书的英文版出现在棣莫弗《运气学说》第2版（1738年）中，内容广为流传。Approximatio还首次阐述了n级阶乘的表达公式： 。该公式现在被我们错误地称为斯特灵公式（Sterling’s formula），其实斯特灵的贡献不过是将公式中的2.5074修改为 。
7.Jules Regnault于1863在Calcul des chances et philosophie de la Bourse一书中就得到了该结果。他是通过对股票价格波动的经验观察而得到该结论的。
8.资料来源：Paul Anthony Samuelson，PBS television program“NOVA 2074：The Trillion Dollar Bet，”broadcast February 8，2000.www.pbs.org/wgbh/nova/stockmarket.For program purchase：http://shop.wgbh.org/webapp/wcs/stores/servlet/ProductDisplay：productId=11 030&storeId=11 051&catalogId=10051&langId=-1。
9.资料来源：Irving Fisher，The Theory of Interest：As Determined by Impatience to Spend Income and Opportunity to Invest It（New York：Macmillan，1930）；reprinted（New York：Augustus M.Kelley，1955），p.315。
10.同上，p.313。
11.同上，p.341。
12.资料来源：Joan Violet Robinson，“What Is Perfect Competition？”Quarterly Journal of Economics 49，No.1（November 1934），pp.104~120（p.119）。
13.资料来源：Fisher，Theory of Interest，pp.194~199。
14.同上，p.316。
15.转载得到了Blackwell Publishing的允许。
16.摘录于The Intelligent Investor：The Classic Text on Value Investing by Benjamin Graham.The Original 1949 Edition，featuring a new Foreword from John C.Bogle.Copyright 1949 by Benjamin Graham； Foreword copyright 2004 by John C.Bogle.转载得到了HarperCollins Publishers，Inc的允许。
17.同上。
18.资料来源：Warren E.Buffett，“The Superinvestors of Graham-and-Doddsville，” Hermes，Columbia School of Business（Fall 1984}，pp.4~15.1984年版权。转载得到了允许。
19.尽管巴菲特对现代金融理论十分熟悉，但是看似他误解了这个理论。由于投资分散化的存在，现代理论认为价格是由所有投资者的边际投资者决定（或者在特殊的情况下是由一般投资者决定），而不是巴菲特所认为的由单个最无理性的投资者决定。
20.资料来源：Buffett，“The Superinvestors of Graham-and-Doddsville，”pp.4~15。
21.既然这是一本历史书，那么讲讲“破产”（bankruptcy）这个词的起源也无妨，“破产”这个词起源于意大利文“banco”，它是指在文艺复兴时期的威尼斯借钱人树立的一个长椅子，如果借钱人被人发现欺诈搞鬼，他就会被迫关门并在公众面前将该长椅子砸坏以示羞辱——因此这个词有了后缀ruptus。
22.资料来源：John Maynard Keynes，The General Theory of Employment，Interest and Money（Palgrave Macmillan，1936），pp.153~155转载得到了Palgrave Macmillan的允许。
23.资料来源：John Maynard Keynes，“The General Theory of Employment，”Quarterly Journal of Economics 51，No.2（February 1937），pp.209~223。
24.奇怪的是，尽管戈登和夏皮罗很明显指导威廉姆斯这本书，但他们并没有将公式的荣誉授给威廉姆斯。相反，他们这样写道：
J·B·威廉姆斯的书《投资价值理论》是有关这个问题的杰作。在这本书中威廉姆斯解决了增长的问题。不过，他提出的模型是武断的且很复杂，因此增长的问题仍然是个定性现象。资料来源：Myron J.Gordon and Eli Shapiro，“Capital Equipment Analysis：The Required Rate of Profit，”Management Science 3，No.1（October 1956），pp.102~110（p.105）。
然后，他们继续推导出了与威廉姆斯相同的简单公式。
25.转载得到了Fraser Publishing的允许，www.fraserpublishing.com.All rights reserved.
26.同上。
27.资料来源：Friedrich August von Hayek，“The Use of Knowledge in Society，”American Economic Review 35，No.4（September 1945），pp.519~530（pp.526~527）.
28.Adam Smith （June 5，1723-July 17，1790），An Inquiry into the Nature and Causes of the Wealth of Nations，Great Books of the Western World：Smith（Franklin Center，PA：Franklin Library，1978）。
29.资料来源：von Hayek，“The Use of Knowledge in Society，”p.527。
30.更准确地讲，马科维茨假定了期望理论对效用理论违背中三种情况中的两种情况：①与当前财富相比，效用的正态性；②原点左边的陡峭的凸起部分。此外，卡尼曼和特沃斯基还呈现了第三种情况，③效用的概率权重之和等于1。
31.M.G.Kendall，“The Analysis of Economic Time-Series-Part I：Prices，”Journal of the Royal Statistical Society：Series A（Genera）116，No.1（1953），pp.11~34。
32.资料来源：Holbrook Working，“The Investigation of Economic Expectations，” American Economic Review 39，No.3（May 1949），pp.150~166。
古典时期：1950~1980年
1.大多数资料（包括《巴莱特常用引用语》第17版，2002年）都把这条建议归功于马克·吐温（1835年11月30日—1910年4月21日）。吐温在《威尔森的悲剧》一书中的第15章的开篇这样写道：
看啊，愚蠢的人“并没有所有的鸡蛋都放在一个篮子里”——应了那句谚语“分散钱财也分散了注意力”，而聪慧的人“把所有的鸡蛋都放在一个篮子里——并看好篮子！”
此前几年，吐温听取了安德鲁·卡内基的这条建议，这是卡内基自己从业的经验，吐温把这条建议融入到了自己的书中。卡内基的建议看起来借鉴了塞万提斯的观点。塞万提斯（1547~1616年）在《唐吉坷德》（1605年）第三卷第一部分第9章中写道：
聪明的人今日会为明日着想，他不会冒险把所有的鸡蛋放在一个篮子里。
2.转载得到了Blackwell Publishing的允许。
3.同上。
4.1999年版权，CFA Institute.转载自The Financial Analysts Journal，得到CFA Institute的允许。All rights reserved。
5.Kendall，“Analysis of Economic Time-Series”。
6.经常有人认为最后一点出现在弗里德曼的文章中，但我必须承认我从未在弗里德曼的文中找到。
7.转载得到了Blackwell Publishing的允许。
8.资料来源：Franco Modigliani and Merton Howard Miller，“The Cost of Capital，Corporation Finance and the Theory of Investment，” American Economic Review 48，No.3（June 1958），pp.261~297（p.271）。
9.资料来源：Walter A.Morton，“The Structure of the Capital Market and the Price of Money，”American Economic Review 44，No.2 （May 1954），pp.440~454（p.442）。
10.资料来源：Franco Modigliani and Merton Howard Miller，“The Cost of Capital，Corporation Finance and the Theory of Investment，” American Economic Review 48，No.3（June 1958），pp.261~297（p.271）。
11.转载得到了Fraser Publishing的允许，www.fraserpublishing.com.All rights reserved.
12.资料来源：Holbrook Working，“A Theory of Anticipatory Prices，” American Economic Review 48，No.2（May 1958），pp.188~199 （p.196）。
13.转载得到了Blackwell Publishing的允许。
14.Proceedings of the Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability by Leo Breiman.Copyright 1961 by the University of California Press.经University of California Press许可由Copyright Clearance Center以普及版形式再版。
15.资料来源：Hans-Werner Sinn，“Weber’s Law and the Biological Evolution of Risk Preferences：The Selective Dominance of the Logarithmic Utility Function，”CESifo Working Paper No.770（September 2002），pp.3~4。
16.这个例子用我们先前的定义表述：W（s）=1 2 3 4 5 6，对状态s=1，2，3，4，5，6，p A（s）=0 0.5 0 0 0 0.5且p B（s）=0.5 0 0.5 0 0 0。
17.转载得到了Blackwell Publishing的允许。
18.令人吃惊的是，直到最近才知道在此大约10年前，布鲁诺·德·费内蒂（1952，pp.685~789）就提出了绝对风险规避的概念，这篇文章是用意大利文写的，我相信该文从未被翻译成英文。根据读过此文的克鲁迪奥·阿布尼斯（Claudio Albanese）的说法，德·费内蒂对绝对风险规避进行了定义。
19.转载得到了Blackwell Publishing的允许。
20.同上。
21.资料来源：Eugene F.Fama，“The Behavior of Stock-Market Prices，”Journal of Business 38，No.1（January 1965），pp.34~105 （p.87）.转载得到了the University of Chicago Press的允许。
22.资料来源：Warren H.Hausman，“A Note on ‘The Value Line Contest：A Test of the Predictability of Stock-Price Changes’，” Journal of Business 42，No.3（July 1969），pp.317~330.转载得以了the University of Chicago Press的允许。
23.资料来源：Barr Rosenberg，“The Behavior of Random Variables with Nonsta tionary Variance and the Distribution of Security Prices，”（unpublished but frequently cited working paper），Graduate School of Business，University of California at Berkeley（December 1972），pp.39~40。
24.转载得到了Blackwell Publishing的允许。
25.资料来源：Mark Rubinstein，“Securities Market Efficiency in an Arrow-Debreu Economy，”American Economic Review 65，No.5（December 1975），pp.812~824。
26.资料来源：Mark Rubinstein，“The Fundamental Theorem of Parameter-Preference Security Valuation，” Journal of Financial and Quantitative Analysis 8，No.1（January 1973），pp.61~69。
27.资料来源：Jack L.Treynor and Fischer Sheffey Black，“How to Use Security Analysis to Improve Portfolio Selection，” Journal of Business 46，No.1（January 1973），pp.66~86.转载得到了the University of Chicago Press的允许。
28.转载得到了Blackwell Publishing的允许。
29.阿罗的例子事实上有些不同。他实际上假定经济系统中的参与者消费C种不同的商品，有S个状态，那么S×C就是完整市场所需的状态-或然商品数目。这些状态-或然商品在一种给定的状态支付一单位的具体商品。为了稳定市场的数量，阿罗引入了S种证券，这些证券为每种状态支付一美元，相应地可以用这些钱来购买对应的商品。参与者并不是直接购买状态-或然商品，而是先购买状态证券。当真实的状态显示出来，个人商品市场开张之后。市场组织会把市场的数量减少到S+C。如果S，C>2，那么（S+C）<（S×C），市场的数量降低了。
30.例如，在《数点问题》（帕斯卡-费马，1654）中，如果想知道当前公平的利益划分，那么就必须知道参与者赢得回合的概率分布。就这个简单的例子来讲，就是假设概率是1/2。
31.著名的二项式期权定价模型会让这一点十分清楚。波动率（σ）决定着标的股票价格的上涨（u）与下跌（d），其中公式之一就是 ，其中t表示期权距离到期的时间，n表示二项步骤的数目。考克斯-罗斯-鲁宾斯坦（1979）指出，状态价格是π u=（r-d）/［r（u-d）］和π d=（u-r）/［r（u-d）］，其中r=1/（π u+π d）表示二项式期间的无风险收益。
32.证券收益的均衡随机过程取决于投资者偏好且不是外生的，这种想法可能最早出现在奥斯本（1959）。他的布朗运动假设建立在韦伯-费克纳的心理物理学假说上：要使感觉强度成等差级数增加，必须使刺激大小成等比级数增加。
33.资料来源：Mark Rubinstein，“An Aggregation Theorem for Securities Markets，” Journal of Financial Economics 1，pp.225~244.Copyright 1974.转载得到了Elsevier Science的允许。
34.为了更为审慎地表述这个条件，要允许几何布朗运动的存在，但是布朗运动具有主观均值，且该主观均值是随机的，甚至可能取决于外部状态变量。但是过程的波动的对数（或者是扩散系数）一定是稳定的。不过，用风险中性概率来表述，几何布朗运动一定拥有等于无风险收益的非随机均值。
35.资料来源：Stephen A.Ross，“Return，Risk，and Arbitrage，”in Risk and Return in Finance（edited by Irving Friend and James Bicksler，Ballinger 1977），pp.189~218。
36.“基础定理”这个名字可能最早出现于［DybvigRoss（1996）］Phillip H.Dybvig and Stephen A.Ross，“Arbitrage，”in The New Palgrave：A Dictionary of Economics，Volume 1，edited by John Eatwell，Murray Milgate，and Peter Newman（reprinted London：Macmillan Press，1996），pr.100~106。
正如阿罗（1953）指出的那样，除非不同证券的数目等于状态的数目，否则状态价格就不是唯一的——这个结论有时被称做“金融经济学第二基础定理”。
基础定理公式允许不确定性的存在：现在存在的多种“状态”在将来只有一种会发生。在确定性下，关注的焦点是证券的现金流，相应的定理会是：
当且仅当无套利时，利率期限结构才存在。
“利率期限结构”是如下内容的缩写：
·任何债券的当前价格等于其现金流量的现值，计算时对每一只证券都是用相同的期限结构。
·所有远期利率（隐含在期限结构之中）都是正值。
37.资料来源：Ross，“Return，Risk，and Arbitrage”。
38.我们能很容易地看到相同的结果适用于任何投资组合。假定每个投资组合中证券j所占的比例是x j，那么投资组合的收益就是r p=Σ jx jr j。那么对任何证券j来说：
E（r j）=r+Cov（r j，-Y）
乘以比例x j，那么，所有证券之和：
E（Σ jx jr j）=r+Cov（Σ jx jr j，-Y）
这意味着：
E（r p）=r+Cov（r p，-Y）
39.与阿罗（1953）相比，布莱克－斯科尔斯所做的创新之一是：只在所有证券集合中的一小部分子集排除了套利，而且研究了这部分子集中证券价格之间的关系。因此，如果能从两只不同的股票中赚取套利利润，而不能从某只指定的股票、它的期权以及现金中赚取套利利润，那么也是与布莱克-斯科尔斯完美相符的。因此布莱克-斯科尔斯提供的是一个宇宙中的“孤岛领域”理论。
40.正如考克斯-罗斯-鲁宾斯坦（1979）所指出的那样，为了完整，我们需要第八个假设来排除二项式跳跃过程的可能性，即在每个结点股价小幅度上涨（下跌）具有较高的风险中性概率，股价大额固定幅度下跌（上涨）具有较低的风险中性概率。随着时间区间趋向于零，这些概率迅速成为极端值。
41.此处的公式甚至可以允许在每一个结点的无风险收益是不同的。
42.如果我们就此打住而不做最后一个假设，那么我们会得到鲁宾斯坦（1994）在《隐性二项树》一文中描述的期权定价模型。
43.转载得到了Fraser Publishing的允许，www.fraserpublishing.com.All rights reserved。
44.资料来源：Mark Rubinstein，“Corporate Financial Policy in Segmented Securities Markets，”Journal of Financial and Quantitative Analysis 8，No.4（December 1973），pp.749~761。
45.资料来源：Michael C.Jensen，“Some Anomalous Evidence Regarding Market Efficiency，”Journal of Financial Economics 6，pp.95~101.Copyright 1978.转载得到了Elsevier Science的允许。
现代时期：1980年之后
1.Thomas Bayes （circa 1701-April 7，1761），in［Bayes（1763）］“An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances，”Philosophical Transactions of the Royal Society 53（1763），pp.370-418； reprinted along with a transmittal letter by Richard Price，who located the paper among the documents left after Bayes. death in 1761 in Studies in the History of Statistics and Probability，Volume 1，edited by Egon S.Pearson and Maurice G.Kendall（London：Griffin，1970），pp.131~153。
2.转载得到了Blackwell Publishing的允许。
3.资料来源：James A.Ohlson，“Earnings，Book Values，and Dividends in Equity Valuation，”Contemporary Accounting Researcb 11，No.2（Spring 1995），pp.661~687。
4.转载得到了Blackwell Publishing的允许。
5.同上。