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1962年
跨期消费与投资、时间可加效用、对数效用、不确定寿命、寿险
菲尔普斯（1962）最先研究了不确定条件下的多期消费问题，从而将费雪（1930）拓展到不确定投资收益。菲尔普斯假设一个风险规避的消费者或者投资者要使他的时间附加消费效用函数U（C t）最大化，且时间偏好ρ在有限的生命期内稳定：Σ tρ tE［U（C t）］。在每个时间他都要将财富在消费与一项风险证券之间进行配置，该风险证券在各期的收益是独立且同分布的。菲尔普斯参照马科维茨（1959）的建议，使用动态规划的方法解决了这个最优消费与投资组合选择的问题。他指出在对数效用这种特例下，U（C t）=lnC t，每个时点的最优消费取决于财富、时间偏好以及剩余的生命时间，而不取决于风险证券收益的概率分布。弗兰克·普伦普顿·拉姆齐在1928年的一篇文章也研究了相似的经济问题，只不过他研究的是无限期间的且在每个时点将财富在消费与无风险证券之间进行配置。 [39]
马海姆E.雅瑞1965年写的文章是另一篇较早的研究不确定条件下消费问题的文章。但与菲尔普斯不同，雅瑞假定投资的收益是确定的，但消费者的寿命是不确定的。雅瑞假定消费者知道他们在未来每个时点可能死亡的概率。那么消费者要使如下变量最大化：
其中，π（t）表示在时点t的死亡概率， （积分从t到T）是消费者在时点t仍生存的概率，ρ（t）是时点t的累计时间偏好，β（t）是遗产的时间折现函数，V（W t）是消费者死亡时遗留财富W t的效用函数。积分是从0到T，之后消费者就不再生存。
雅瑞考虑了两类机会集：第一，在每个时点只有无风险投资机会，这个投资机会是可完全预测的且收益在各期都是已知的；第二，存在寿险。在最简单的情况下，β（t）=0，Ω（t）=1，与费雪（1930）类似，雅瑞指出：
其中，r（t）表示时点t的即时无风险收益率，为了描述起来更简单我假定存在一个稳定的ρ>0使得ρ（t）=e -ρt。现在如果我将不确定寿命这个因素加进来，这样Ω（t）<1（但是仍没有遗产），那么仍可获得相同的结论只不过用ρ-［π（t）/Ω（t）］替代ρ。因此时间偏好率随着时点t的死亡条件概率下降。因此，提前死亡的可能性或许能增强提前消费的偏好［费雪（1930），pp.216~217］。
如果存在寿险，那么需要怎样修改这些结论？雅瑞假设存在一项公平精算保费的生命年金［见德威特（1671）的讨论］，这项保险每年会给投保人一项收入直至其死亡，该收入等于他的最优消费。如果该保险年金是公平精算保费的，那么消费者从年金中获得即时利率等于r（t）+［π（t）/Ω（t）］。注意：这个利率要比市场的无风险利率高，这是因为保险公司在投保人死亡之后停止支付，那么活着的时候需要提供高于无风险利率的补偿。这使得消费者会选择只投资于寿险年金而不选择投资于单纯的无风险投资。但是，雅瑞指出这将会为庞氏骗局 [40]创造机会：因为所有的债务会在消费者死亡时赦免，那么消费者会受到诱使卖出无限量的寿险，以此来为进一步的寿险提供资金，从而消除对消费的约束。在现实生活中，这种诱惑会随着消费者年龄的增长而增强，这可以解释为什么保险公司拒绝向那些达到一定年龄的个人售卖寿险的原因。阿克罗夫（1970）则提出了寿险市场失败的另一种解释。