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1954年
期望效用、独立格言、主观与客观概率、阿莱斯悖论、效用的经验测度
虽然有丹尼尔·伯努利（1738）的前期工作，但自他之后200年内几乎没有人再尝试分析不确定性对经济决策的影响。有一个有名的例外，那就是奈特（1921）。奈特认为，利润以及市场体系的存在都是因为风险与不确定性之间存在差异。尽管伯努利的边际效用递减假设后来被马歇尔（1890）以及其他经济学家广泛采用，但他第二个有关期望效用的伟大思想则让众多经济学家感到难以接受。因为根据他的观点，公平赌博应该被取消；而且承担风险是不理性的，应该排除在经济学的正常框架之外。
约翰·冯·诺伊曼和奥斯卡·摩根斯坦的《博弈理论与经济行为》果断地改变了这一观点。为了提出他们全新的“博弈论”，他们需要设计具有混合策略概率的效用型回报。于是在他们书的第2版，冯·诺伊曼和摩根斯坦（1947）在附录（pp.617~632）部分加入了一份公理分析，证明了理性个体决策的目的是期望效用最大化。冯·诺伊曼和摩根斯坦不知道的是，在他们之前就有人提供了更早的、可能是第一份证据，不过那是基于理性公理得出的结论。这份证据出现在弗兰克·普伦普顿·拉姆齐（1903年2月22日~1930年1月19日）的论文《事实与概率》（Truth and Probability）中。可惜的是，这篇论文是在他26岁（1930年）一次远足意外身亡后才出版。 [44]1937年，与拉姆齐并不相识的布鲁诺·德·费内蒂（1906年6月13日—1985年7月20日）发表论文也说明了如何从选择中推出主观概率。 [45]费内蒂的论文后来再版于亨利E.凯伯格和霍华德E.斯莫克勒编著的《主观概率研究》（Studies in Subjective Probability）（Robert E.Krieger Publishing，第2版，1980年）一书中。
接下来，我们看一下公理。假设Ω表示能获得所有可能结果x 1，x 2，x 3的各种赌博集，p，q，r∈Ω。p表示赌博产生结果x 1，x 2，x 3的概率分别为p 1，p 2，p 3；q表示赌博产生相同结果的概率分别为q 1，q 2，q 3；r表示赌博产生相同结果的概率分别为r 1，r 2，r 3。符号≥（“优于或等于”）表示赌博之间的二元关系。于是我用p≥q表示p优于q或者与q无差异。当且仅当p≥q且q≥p时，p=q。当且仅当p≥q且q≠p时，p>q。
公理1，完整性：对所有p，q∈Ω，或者p≥q或者p≤q。
公理2，传递性：对所有p，q，r∈Ω，如果p≥q且q≥r，则p≥r。
公理3，持续性：对所有p，q，r∈Ω，如果p>q且q>r，则存在α，β∈（0，1）使得αp+（1-α）r>q且q>βp+（1-β）r。
公理4，独立性：对所有p，q，r∈Ω与任何α∈（0，1），当且仅当αp+（1-α）r>αq+（1-α）r时，p>q。
期望效用表述定理强调：公理1-4的条件是当且仅当存在一个效用U使得对所有p，q∈Ω：
当且仅当Σ jp jU（x j）≥Σ jq jU（x j），p≥q。
U称为效用函数。不难看出，U不是一个单值函数，而是一个递增的线性方程。也就是说，对任何数字a，b>0，当且仅当V=a+bU是个效用函数时，U才是个效用函数（换句话说，U和V保持所有可能赌博的相同排序）。仅仅假设决策是为了最大化期望效用是不够的，假设决策符合冯·诺伊曼和摩根斯坦公理——这是众多经济学家采用的通用、省事的办法。
冯·诺伊曼和摩根斯坦公理并没有明确使用“独立公理”，不过他们的公理由雅各布·马沙克 [46]以及萨缪尔森中（1966） [47]各自加以重述。埃德蒙·马林沃1952年指出，冯·诺伊曼和摩根斯坦原先的公理其实已经隐含了独立公理。该公理表示，每一种状态下结果的效用都与其他状态下结果的效用独立。比如，函数F（C 1，C 2，…，C s，…，C S）描述人们对在状态s=1，2，…，S下消费的偏好排序。从直觉上我们不难理解，根据独立公理，该函数可以写为Σ sp sU（C s）。 [48]
独立公理是冯·诺伊曼和摩根斯坦理论中最薄弱的一环，引发了诸多具有启发性的争议。其中一点就是独立公理可能不符合理性行为。例如，假设x 1表示伦敦之旅，x 2表示巴黎之旅；p=（1，0）表示肯定去伦敦旅行，而q=（0，1）表示肯定去巴黎旅行。假设p>q。如果现在有第3个结果x 3：看一部有关伦敦的电影。现在你的选择可以是p=（0.8，0，0.2）或者q=（0，0.8，0.2）。独立公理仍然要求p还得大于q。也就是说，当原来两种选择都增加了一个看伦敦电影的机会时，你的偏好排序仍然得保持不变。但是这似乎不符合实际情况。一旦你选择p而且最后只是看了一部有关伦敦的电影，那你肯定会很遗憾错过了一次到伦敦的实地旅行。这样，还不如选择q，失望还小一点儿。但是独立公理却不允许偏好排序发生改变。
对独立公理提出挑战最为有名的是阿莱斯（1953）。假设结果x 1=0美元，x 2=100美元，x 3=500美元。先看一组赌博，p 1=（0，1，0），p 2=（0.01，0.89，0.10）。通常，对大多数人而言，p 1>p 2。我们再看另一组赌博，q 1=（0.89，0.11，0），q 2=（0.90，0，0.10）。显然，认为p 1>p 2的人同样也会认为q 2>q 1。但是这一结果却违背了独立公理。因为，如果p 1>p 2，则根据期望效用表述定理，存在效用函数使得：
U（100）>0.01U（0）+0.89U（100）+0.10U（500）
将等式两边同时加上0.89U（0）然后再减去0.89U（100）得到：
0.89U（0）＋0.11U（100）>0.90U（0）+0.10U（500）
这显然意味着q 1>q 2。
冯·诺伊曼和摩根斯坦认为，参与者在做决策时理所当然地会使用概率。萨维奇（1954）通过公理分析证明了所有不确定性都可以化为主观概率。他指出，如果个体遵循他认为与理性行为一致的逻辑行为假设，那么他的行为就会表现为根据期望效用最大化目标来进行决策，而期望是与主观概率相关的。萨维奇的工作可以看成是对冯·诺伊曼和摩根斯坦理论加入主观概率的拓展。
大约在萨维奇（1954）发表之前的30年，拉姆齐（1926）就开始了对主观概率的公理证明。首先，他拒绝了从内部人类心理状态强度角度来定义概率的方法。相反，他认为，从个体行为中推导人们对主观概率的隐含使用更有意义。他假定个体是依据理性行为假设进行决策的。举个简单的例子，假设有两家同样温馨的小店，距离你家一样远近，而且卖的都是你喜爱的冰激凌品牌。不过，有时候某一家可能暂时缺货。那么根据观察你长期以来在两家之间的选择，就可以看出你认为哪家更可能有冰淇淋销售。
从行为推导概率尤其说明了人类经济选择理论的实用性：我们无需询问个体他们是如何想的；我们只需要观测他们的行为选择是什么。而且，通过观测行为选择，我们可将他们相信的与他们偏好的区分开来。信念与偏好的区分对之后20世纪人们对“资产定价”的研究至关重要。拉姆齐写道：
我的意思是说我们行为的方式是我们认为最有可能实现我们理想目标的方式，因此，一个人的行为完全取决于他的目标与观点。……这是一个简单的理论，也是众多心理学家愿意保留的理论。他们通过引入下意识观点让该理论与事实更为和谐。我不想说这样的理论假设能多大程度上影响我们实现预定目标，我只想说，任何接近事实，或者接近人为心理体系中的事实的，即便我们知道它是错的，它仍有益于我们的分析，就像牛顿力学一样。（p.173）
然而，即便被观测的个体完全理性，其选择推断概率和偏好这个过程仍有许多潜伏的问题，一不小心就容易出纰漏。例如，观测到某个人在赌马时对某匹马下注可能并不一定意味着他相信这匹马会赢，他可能仅仅只是喜欢这匹马的名字。要从个体选择中推断偏好和概率，我们必须明白他各种选择背后的全部含义，而且要知道他所有可能的选择。
莫斯特勒-诺杰（1951）描述了要验证冯·诺伊曼和摩根斯坦理论（1947）以及拓展后的萨维奇（1954），在众多必需的试验中第一步应该做什么。他们挑选了几个大学本科毕业生和国家警卫队队员做一系列的赌博测试，看看对每个被测者来说是否存在一个单一效用函数符合他的所有选择。当然，由于任务的复杂性，没有一个受测对象是完全符合的。不过，莫斯特勒和诺杰总结说，除了少数被测对象之外，大多数人的反应都充分说明：“①经验地测度效用是可行的；②认为人们行为方式是为了期望效用最大化的观点并不是没有道理的；③根据经验曲线我们有可能预测在类似但更复杂的风险环境下个体的未来行为。”
1988年，阿莱斯因为其“对市场理论以及资源有效利用理论方面的卓越贡献”而获得了诺贝尔经济学奖。