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1725年
亚伯拉罕·棣莫弗（1667年5月26日—1754年11月27日） 出版了《论人寿年金》（A Treatise of Annuities on Lives）；再版于棣莫弗第3版《机遇论》的附加部分《对前版的补充、清晰与修正》；再版于《美国数学学会学刊》（2000年），pp.261~328。
人寿年金、现值、死亡率表、状态价格、唐提养老保险
现在我们会认为概率论是为投资服务的，可是两者关系并不总是如此。在早期，是因为我们希望依据死亡率算出现金流的现值，这才出现了概率的思想。人寿年金是指保险公司每年支付年金领受人固定金额，直到“被提名人”（通常就是年金领受人）死亡，年金领受人的本金不偿还。社会保障就是人寿年金的现代大众版。比较常见的是联合人寿年金，通常用于已婚夫妇或者全体船员，该年金只有在所有人都存活的情况才继续存在。唐提联合养老保险与它相似，唯一不同的是只要领受方有一个成员还健在保险金就继续支付。1653年，洛伦佐·唐提向法国枢机主教马萨林推荐了一个政府集资计划，唐提养老保险由此得名。唐提养老保险的一般协议是，一组参加保险者向基金投入相同资金；然后每年他们共同得到一笔指定数额的年金，平均分配。如果某一成员因为死亡而退出，就由余下成员分享年金总额。由于年金总额保持不变，因而每人分得的年金增加。当只剩一个成员存活时，他就得到全部年金。最后当所有参保成员都去世时，年金支付就停止，基金的本金归基金发行者（如政府）所有。罗伯特·路易斯·史蒂文森和劳埃德·奥斯本的中篇小说《入错棺材死错人》（The Wrong Box）（1889）描述了唐提养老保险的另一种形式。参加保险的初始成员共37人，直到最后只剩一人时该保险才支付保险金额，也就是说，最后那个人获得全部初始资本与所有累积收益。
在公元前44年恺撒大帝被刺杀到公元前31年阿克提乌姆海战（历史学家后来称之为罗马共和制灭亡以及罗马帝制开始的时间）的内战期间，大约是公元前40年罗马颁布了法尔什德法（Roman Falcidian Law）。根据该法，财产的法定继承人，通常是家中存活的长子，有权继承该财产至少25%的价值。而非长子则通常是以人寿年金的形式领取遗产，这样我们就需要知道年金的价值。人们用“收益年份”计量年金，也就是我们现在说的“回收期”。比如，某笔年金每年支付100元，收益年份为20年，这就意味着该年金的现行价格为100×20＝2000（元）。从3世纪罗马法理学家乌尔比安那里，我们获得一张人寿年金表。该表格清晰地显示出，年金的价值应该随着领受人年龄的增长而降低（尽管可能存在人为的上偏，目的是保护长子的财产）。在他的一份表格中，他指出，当领受人年龄为20时，人寿年金的价值为30年收益年份；而当领受人的年龄到了60岁，人寿年金的价值只有7个收益年份。我们现在知道了如何计算收益年份的价值上限。假设生命是无限的、利息率为6%，那么年金的价值为1/0.06=16.67（元），即年金在1个收益年份的价值为16.67。这是年金的最高价值，因为其他任何事物的价值都低于无限生命的价值。
2000年，杰弗里·波伊特拉斯著书回顾了人寿年金的发展史。 [16]人寿年金始于17世纪，是政府用于集资的途径。年金普遍受到欢迎的一个原因是它没有违反教会的高利贷法：由于年金购买者只收到利息，本金并不返回，所以年金并不是债务。当然，年金的二级市场允许购买者提前套现。那个时候，出现了更为复杂的收益年份概念。假定P为一笔持续到未来某一固定年份年金的价格，X为年金每年的支付额，利息率为r。收益年份t满足方程P=X［Σ k=1，2，…，t（1/r k）］。换句话说，收益年份就是让所有年支付额的现值等于年金价格的时间。
虽然我们看到罗马人已经对年金被提名人的预期寿命进行了调整，但该调整还比较粗糙。对预期寿命进行精确调整的是德威特（1671）。在称得上是第一份对期权类衍生品的正式分析中，德威特提出了一种方法，即基于被提名人的年龄来计算人寿年金的价值。按照现行标准，他的方法不算精细，但他使用的是当时第一份死亡率表。德威特假定，被提名人将根据下面的数据死亡。在每768个提名者中：
在第一个50年中每6个月将有6人死去；
在接下来10年中每6个月将有4人死去；
在接下来10年中每6个月将有3人死去；
在接下来7年中每6个月将有2人死去。
假设复利利率为4%，对768个死亡时间，他一一计算了其对应年金的现值，然后取算术平均值，即为年金的价格。德威特还指出，他的计算结果可能向下偏，这是因为存在我们现在所说的“逆向选择”问题：选择购买年金的人可能相对比较健康，因而比同龄人更加长寿。
虽然我们的回顾更注重思想的发展，而不是写思想发明者的传记。不过我忍不住想提一提，在1672年，也就是德威特出版他有关人寿年金的经典之作一年之后，他就被荷兰的革命暴徒公开绞死。毫无疑问，这是因为具有金融天才的德威特在担任政府大臣时太过耀眼。
德威特曾请教过约翰·范·瓦佛兰·郝德（1628年4月23日—1704年4月15日）。郝德根据1495个实际购买过年金的人的死亡数据，自己算出了年金价值。哈雷（1693）也设计了自己的计算公式。哈雷使用了与德威特不同的数据，两人的计算公式却得到了相同的结论。但哈雷构建了一个更为基础的解答方式。将于时间t终止的年金的现值为X［Σ k=1，2，…，t（1/r k）］。假设qt为年金领受人在第t年死亡的概率，那么根据德威特的公式，人寿年金的现值为
相反，假设p t为年金领受人在第t年存活的概率。哈雷首先计算e t≡p t/r t，然后再利用这些分子价格计算人寿年金的现值：
证明：哈雷与德威特的公式是等同的
要从德威特的公式推导出哈雷的公式，首先我们要推出年金领受人在第t年死亡的概率q t与年金领受人在第t年存活的概率p t二者之间的关系。p t等于领受人在t+1，t+2，t+3…死亡概率之和。如果某人在第t年还活着，那么他肯定是在随后某一年死亡。因此，在第t年还活着的概率等于在第t年之后死亡的概率。设想一个具体的例子，年金领受人在第4年死亡。因此：
p 1=q 2+q 3+q 4
p 2=q 3+q 4
p 3=q 4
解上述方程，我们可以得到q 2=p 1-p 2，q 3=p 2-p 3（假设p 4=0，那么q 4=p 3-p 4）。进而，我们得到：
q t=p t-1-p t
该等式的直观意义是：领受人在时间t死亡的概率等于在时间t-1存活的概率减去在时间t存活的概率。这两个概率产生差异的原因只能是领受人在时间t死亡。
把上式代进德威特的公式：
将前几项展开看看：
该等式的直观意义是：只有领受人在时间t还活着，他才能在该时间收到年金，因此时间t期望年金的现值等于p t（1/r t）。而各笔年金之和的现值就等于年金现值之和，这就是该等式的含义。
我们可以将e t看成是在第t年你收到1元的现值，条件是当且仅当你到那时还活着。按照现在人寿年金的说法，这个e t被称为“生存保险”的价格。保险精算师们将生存保险定义为投保人必须在指定时间内生存，才能收到的一定款项；如果投保人在特定日期之前死亡，他生前将什么也得不到。养老保险的条件宽泛一些：不管投保人是否活过指定日期，投保人都可以收到一笔指定的总数再加上一笔利息。只不过，如果投保人提前死亡，他得到的收入会有所变化。一般地，在等额分期支付情况下，如果投保人还健在，他通常会得到补偿。该类保险可以分解为两部分：一部分是生存保险，一旦在指定日期之前投保人死亡，该部分就取消；另一部分是投保人提前死亡时支付的条件保险。
数学家棣莫弗（1725）也研究过人寿年金问题，推导出了单一人寿年金、联合人寿年金、唐提式养老保险以及退休金等的“解析解”。他的问题1（pp.265～266）针对单一人寿年金。为了得到解析解，他假定，生存概率随着年龄的增长而呈等差级数降低：
假定生存概率呈等差级数递减，求某一特定年龄人寿年金的价值。
根据哈雷的公式，棣莫弗假定p t=1-（t/n），这里n可以理解为投保人剩余寿命的最大值。例如，一位男性现在30岁；如果n＝50，那么他能再活一年的概率为p 1=1-1/50=0.98；再活两年的概率为p 2=1-2/50=0.96；再活50年的概率为p 50=1-50/50=0。根据这一假设，年金的现值为
依据等比级数的特征，棣莫弗指出（式中r *≡r-1）：
棣莫弗还提供了联合人寿年金的结果（问题2，pp.266～268）：
假定已知两笔单项人寿年金的价值，求基于两人联合生存期的年金的价值。
假设两个年龄分别为x和y的人各自购买了人寿年金，保险合同明确说明，在两个人有生之年每年向两人各支付1元。设两个人年金的现值分别为A x≡Σ t（ xp t/r t），Ay≡Σ t（ yp t/r t）。再假设两个人继续存活的概率随着时间而呈几何递减，则 xP t=P tx， yP t=P ty。例如，对年龄为x的人，他再存活一年的概率为p x，存活两年的概率为p 2x，依此类推。棣莫弗证明：如果两人为独立个体，那么基于他们联合生命的年金（即只要两人健在就支付1美元）的现值等于：
我们再具体看看该等式的推导过程。自现在年龄开始，两人再活t年的概率为（p xp y） t，因而联合年金的现值为A xy=Σ k=1，2，…，∞（p xp y/r） t。既然棣莫弗已经提出了这个问题，我们需要按照单一人寿年金展开该等式。第一人单一人寿年金的现值为A x=Σ k=1，2，…，∞（p x/r） t=（p x/r）/［1-（p x/r）］=p x/（r-p x）。同样，第二个人年金的现值为A y=p y/（r-p y）。解上述两个等式，再将p x与p y的表达式代入联合年金A xy的表达式，即得到上述结果。
棣莫弗还考虑了一个唐提式养老保险问题（问题4，p.270）：
假定已知两笔单一人寿年金的价值，不管是否谁先死亡，求两人中较长寿者的年金价值。
无须特别假定 xp t与 yp t不依赖于t，棣莫弗证明了该年金价值为A x+A y-A xy。
很显然，两人中至少有1人在时间t还存活的概率为1-（1- xp t）（1- yp t）。因此，唐提式养老保险的现值为Σ t［1-（1- xp t）（1- yp t）］/r t。把该式分解为三个部分，一部分为 xp t，一部分为 yp t，另一部分为 xp typ t，就得到上述结果。
棣莫弗的问题7（p.272）由于“继承”产生的人寿年金的价值：
假设A拥有一笔年金，在A去世后B可以得到一笔人寿年金，求A去世后B的人寿年金的价值。
同样无须特别假定 xp t与 yp t不依赖于t，棣莫弗证明了该年金价值为A x-A xy。
同理，很显然，在第t年A已经去世而B存活的概率为（1- xp t） yp t。因此唐提养老保险的现值为Σ t［（1- xp t） yp t］/r t。把该式分解为两个部分，一部分为 yp t，另一部分为 xp typ t，就得到上述结果。