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1982年
稳定帕累托假设、波动性、非稳定方差、随机波动、肥尾、极端峰值、自回归条件异方差（ARCH）
奥斯本（1959）和亚历山大（1961）在研究股票收益分布频率时发现了肥尾现象，曼德尔布罗特（1963）使用稳定帕累托分布来解释这个现象。但是，金融经济学家不愿意接受这个模型，主要是因为如果接受这个模型，那么他们就必须放弃使用方差来度量风险的做法（因为稳定帕累托随机变量的方差是无穷大）。最终，稳定帕累托假设被证实是个死胡同。尤其是当替代性的解释，即对股票收益的有限方差解释被提出之后。普雷斯（1967）可能是第一个提出此类建议的学者，他首先将泊松跳跃过程应用到股价行为之中。普雷斯假设，连续的价格变化行为遵循的是如下模型：
ΔP（t）≡lnP（t+1）-lnP（t）=Σ kY k+ε（t） （2-11）
其中，求和是从n（t-1）至n（t），ε（t）服从的是序列独立稳定的正态随机变量分布，即N（0，σ 12）；Y 1，Y 2，…，Y k，…是一个相互独立的正态分布随机变量序列，即N（θ，σ 22）；n（t）是一个泊松过程，其参数是λt，代表着从时点t到时点t+1期间发生的与股价相关的事件的预期次数。将n（t）想象成交易次数也无妨，但不一定必须要这么想。很容易看出，有关ΔP（t）两个中心矩是：
E［ΔP（t）］=λθ，Var［ΔP（t）］=σ 12+λ（θ 2+σ 22）
四个累计量分别是：
K 1=E［ΔP（t）］，K 2=Var［ΔP（t）］，
K 3=λθ（θ 2+3σ 22），K 4=λ（θ 4+6θ 2σ 22+3σ 24）
标准化后的偏值和峰值是：
普雷斯宣称，Skw［ΔP（t）］的符号与θ的符号相同，ΔP（t）的分布的峰值要比正态分布的峰值高。且存在一个足够极端的ΔP（t）值，在高于这个值的部分ΔP（t）的分布的概率要大于正态分布的概率。|θ|的值越小，所需要的这个极端值就越小。
为了从时间序列中估计（λ，θ，σ 12，σ 22）这四个参数值，普雷斯建议使用匹配累计量的方法。假设ΔP（1），ΔP（2），…，ΔP（t），…，ΔP（T）是一个可观察到的股价差分的时间序列，这个样本的非中心矩被定义为m r=（Σ t［ΔP（t）］ r）/T，r=1，…，4。普雷斯假设这个时间序列是由不相关的但分布相同的随机变量构成。那么样本的累计变量是 [58]
令 ，r=1，…4，然后通过这四个等式的求解计算出参数（λ，θ，σ 12，σ 22）。普雷斯指出，一旦求解出θ，那么另外三个参数可以用解析公式推出。
另外一种生成肥尾的方法是假设变量自身是随机变量，可以在每一个时间段取不同的值，而不是假设对数价格差分分布的方差是随机变量。普雷兹（1972）首先研究了这种可能性。在这种情况下：
ΔP=∫f（ΔP/σ 2）g（σ 2）dσ 2 （2-12）
其中，σ 2≡Var（ΔP），f和g都是密度函数。积分是从0到∞。普雷兹将g设定为反向伽玛分布。
不幸的是，这个模型有着严重的问题。普雷兹自己也注意到了，即真实存在的波动聚集问题。经常会出现连续数期的超常高波动和另外连续数期的超常低波动。但是，普雷兹已经假设方差的数据是随机的，那么今天不正常的高方差紧跟着可能是正常的方差。更好一些的假设是：假设方差变动值是一个独立同分布随机变量。这就能解释波动聚集现象。第一个提出这类模型的是罗森堡（1972）。在罗森堡之前，包括普雷斯和普雷兹在内的经济学家们都假设股价变动或（对数）收益是序列相同分布的。
罗森堡使用标准普尔综合股票指数100年（1871~1971年）的月度价格变化的对数值，计算出这个时间序列的标准化后峰值（第四中心矩与第二中心矩平方的比值）是14.79，这个值比正态分布的峰值3要大很多。尽管仍假设每一只股票的价格变动都是正态分布的，但罗森堡认为高峰值的出现可以用正态分布方差的不稳定来解释。他提出了一个模型，在这个模型中分两步描述了价格变动。首先，方差来自于一个给定的非稳定分布；接着，价格变化来自于一个拥有最新方差的正态分布。
他首先指出，当一个随机变量时间序列的方差是不稳定的（甚至不是随机的）时候，那么总体的峰值要比单个变量的峰值（正态分布的峰值是3）高。
罗森堡对非稳定方差会提高峰值的证明
假设单一证券在时间序列中价格自然对数的变化服从如下分布：z t≡lnP t-lnP t-1=μ t+σ tε t，t=1，2，…，n，其中ε t是序列独立且分布相同的随机变量，其均值为0，方差为1，峰值为γ。一般而言，ε t能够遵循随机过程，如果是这样的话那么σ t独立于ε t。不过，现在假设σ t的未来值是已知的。设y t是扣减均值版的z t，从而y t≡z t-μ t=σ tε t。那么，E（y t）=0，E（y t2）=σ t2，E（y t4）=γσ t4，其中γ≡E（ε t4）。因此，y t的标准化峰值等于：
现在假设我能计算样本矩的预期值以及y t的实现价值 ：
因此，实现收益yt的标准化峰值是：
很容易看到，如果σ t=σ，即方差是稳定的，那么 。但是，如果σ t随着时间的变动而变动，那么 ，因此 。
例如，假定n=2，我设定a=σ 12，b=σ 22，那么时间序列的标准化峰值是2（a 2+b 2）/（a+b） 2。如果a=b，那么这个比率等于1；但是如果a≠b，那么经过简单代数运算可知比率要大于1。
然后罗森堡使用一个简单的随机波动模型：下个月预计股价变动的平方是前10个月价格变动平方的固定线性函数：
其中，求和从k=2到k=m=11。对1873年8月至1950年12月的回归估计得出α=0.001，β=0.666，后者显著异于0，t值等于10.06。这意味着这样简单的方差预测模型也能发挥作用。这可能是第一篇证实了后来为人们所熟知的波动聚集现象的发表了的文章。波动聚集现象是指方差倾向于随机变动但由于从长期来看变化较慢，从而使得有些期间保持着较低的方差而另外一些期间维持着较高的方差。这个简单的波动模型将εt的标准化峰值的最高限降至4.61～6.19之间。相对稳定波动模型而言，其峰值有显著的下降。而且，对长期的样本期间（如2个月、3个月、4个月、5个月和6个月）来说，峰值的最高值更会降至2.17~4.45之间。罗森堡强调，仅仅用一个十分简单的预测方差模型就可以使峰值显著下降，那么更为复杂的预测模型将使峰值降至接近于3。罗森堡预言般地宣称：
这表明：更好的预测方差模型将能完美地解释纽约交易所股票价格变动呈现非正态性的现象……频率经验分布出现的明显峰值是不同方差混合分布的结果……这项试验的结果对财务管理和证券市场理论具有广泛的应用前景。包括：①预测价格变动；②研究价格变动的影响因素是经济分析的一个领域；③在投资组合管理中需要对方差波动做出响应；④方差波动是如何通过影响投资风险而影响风险溢价，进而影响价格水平的。（pp.39~40） 23
10年后，恩格尔（1982）将罗森堡之前应用于股价的模型称之为自回归条件异方差（ARCH）模型（详见p.988）。尽管罗森堡的手稿被广泛地传阅和引用，但这篇文章从未发表。而且，恩格尔看起来并不知道这篇文章，因为他从未提到或引用过这篇文章。在2003年，恩格尔因为“使用时变波动模型（ARCH）分析经济时间序列”而获得诺贝尔经济学奖。