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1938年
久期、久期的四个特征、利率平移、套利
债券的“久期”也就是从债券收回现金流的平均时间是多长。对于零息债券，久期显然是它的到期时间。但对于附息债券，久期就肯定小于到期时间。假设X t为时间t债券的现金流，r（t）为时间t到期的零息债券的年收益率。则B=Σ tX t/r（t） t就是债券的现值。麦考利（1938）（详见pp.43~53）提出，债券的久期D等于：
其中，求和是从时间1一直加到时间T（债券最后一笔现金流的时间）。因此，麦考利定义的久期其实是收回债券现值的平均值的时间。它有几个很好的特征：第一，零息债券的久期等于它的到期时间；第二，债券组合的久期等于其组成债券久期的加权平均，权重等于各债券的相对价值。
对久期的可加性特征的证明
要证明久期的可加性特征，我们来看看两笔债券1和2：
构建一个由这两笔债券组成的投资组合，组合的总价值B≡B 1+B 2。再看看这两笔债券久期的加权平均：（B 1/B）D 1+（B 2/B）/D 2。代入久期的公式后得到：
第三，如果远期利率未变，而且债券组合在时间t和时间t+1之间没有现金流，那么如果债券组合在时间t的久期为D，则它在时间t+1的久期为D-1。
对久期的时间减法特征的证明
第三个特征的证明：久期时间上的变化。考虑一个3期附息债券：
X 1=0，X 2>0，X 3>0
在时间0的久期为
假定远期利率不变，则在时间1的久期为
虽然麦考利已经清楚地意识到久期较长债券的价格比久期较短债券的价格对利率更为敏感，但他没有想到用久期来表示债券价格对利率的弹性。后来希克斯（1939）和萨缪尔森（1945）指出，计算久期的公式其实也表示了债券价格对利率的弹性。假定对所有t，r（t）=y。则可以得到dB/B=-（D/y）dy。这意味着，久期相同的债券其价值对利率变化的敏感性也一样；久期越长，债券的现值对利率变化就越敏感。 [42]
对久期的风险量化特征的证明
证明如下：B=Σ tX ty -t，则，dB/dy=-Σ ttX ty -t-1。这样，dB=-y -1（Σ ttX ty -t）dy。于是，dB/B=-y -1［Σ tt（X ty -t）/B］dy。代入久期的定义，就得到dB/B=-（D/y）dy。
后来人们意识到，将债券的久期理解为债券价格对利率平移的敏感性存在技术问题。举个简单例子，假如当期收益的期限结构（以及远期收益）是扁平的，每年的收益率都为r（与到期时间无关）。再假设期限结构移动到一个新的水平，年收益率为s（同样与到期时间无关），s可能大于也可能小于r。这样，当期收益的期限结构仍然是扁平的，只不过移动到一个新的水平，s≠r。如果发生这种情况，债券价格将发生变化，而且正如我们所看到的，债券的久期将预测价格变化。然而，很明显，期限结构只平行移动的假设违背了金融经济学的基本假设：无套利。
平行收益转移与无套利之间冲突的证明
为了证明平移与无套利之间存在冲突，我想借用莫顿D.戴维斯2001年的分析。［见戴维斯（2001）：《货币数学》（The Math of Money），Springer-Verlag，2001年，pp.66~67）］。和往常一样假定无套利而且市场完备。考虑当期限结构为r时购买如下的债券组合（每只都是零息债券，到期时偿还本金1美元）：
（1）现在（时间0）同意在一年年末（时间1）购买一只债券，该债券将于两年后（时间3）到期。这是一份“远期利率协议”。
（2）现在（时间0）同意在一年年末（时间1）售出（2/r）债券，债券将于一年后（时间2）到期。这是另一份“远期利率协议”。
注意，在这些协议中，在时间0手里的资金没有发生变化；而在时间1因为买卖债券而发生现金的支付或收付。
现在，假设在时间0达成上述远期利率协议组合之后，当期收益的期限结构在时间0之后、时间1之前移动到s，然后在时间1保持在这个水平。在时间1，清算该组合。
在时间1，远期利率协议（1）的损益为：
在时间1，远期利率协议（2）的损益为：
将上面两个等式相加，就得到在时间1投资组合的总清算价值为：
既然r≠s，那么该等式肯定大于0（且不等于0）。事实上，不管期限结构是向上移动还是向下移动，即不管r大于还是小于s，投资者获得的清算现金流都为正。既然两个远期利率协议组合在时间0的成本为0，而在时间1的价值却为正，这就存在套利机会。这违背了我们之前的无套利基本假设；所以上述情况是不存在的。总的来说，期限结构移动的唯一方式是平移这一假定与金融经济学的最基本原则——无套利——不相符。
麦考利对将其分析拓展到隐含期权研究比较悲观。他如是说：
可转换债券与拥有某种特权如“流通”特权的债券具有类似的问题。承诺在未来偿还资金，只不过是影响价格与收益的因素之一。它们是混血儿，无法测量其交叉影响的程度。（pp.70~71）
1973年，罗曼L.韦尔回顾了久期概念的发展史。 [43]
现今，久期是度量证券风险的三个标准方法之一。久期反映了债券价格对利率变动的敏感度，贝塔反映了股票超常收益（超过无风险收益的部分）对市场指数超常收益的敏感度，而德尔塔反映了期权价值对标的资产价格币值变动的敏感度。所有这三个指标都是线性的，因此债券组合的久期、股票组合的贝塔以及相同标的资产的期权组合的德尔塔都等于组合中各证券的风险指标的加权和。