Local EPUB Text
1969年，1970年和1971年
尼尔斯H.哈克森（1937年6月2日—） 分别发表了《风险、不确定寿命和保险下的最优投资和消费策略》（Optimal Investment and Consumption Strategies under Risk，an Uncertain Lifetime and Insurance），载于《国际经济研究》第10卷，第3期（1969年10月），pp.443~466；《风险下的最优投资和消费策略》（Optimal Investment and Consumption Strategies under Risk for a Class of Utility Functions），《计量经济学》第38卷，第5期（1970年9月），pp.587~607；《在完全随机环境下的最优创业决策》（Optimal Entrepreneurial Decisions in a Completely Stochastic Environment），载于《管理科学》第17卷，第7期（1971年3月），pp.427~449。
多期投资组合选择、长期投资、投资组合调整、短视、逆向反推、动态规划、间接或溯源效用、时间附加效用、稳定绝对风险规避（CARA），双曲线绝对风险规避（HARA），对数效用、幂数效用、收费公路现象
凯利（1956）、拉塔尼（1959）、马科维茨（1959）和布雷曼（1961）研究了在多期后投资组合发生潜在调整的情况下财富效用最大化的问题。在投资组合调整中，投资者每一期都在无风险资产和有风险资产之间对累计财富进行配置。这些学者将他们的分析限定在期末对数效用之上。与之相反，马科维茨（1952年3月），罗伊（1952）和托宾（1958）只研究了单期的投资组合选择，且限定在对均值-方差偏好的分析上。莫森（1968）研究了在多期情况下投资者使终期（即事先选择好的期间长度T）期末预期财富效用最大化的问题。为了使研究简化，他故意忽略了菲尔普斯（1962）提到的中期会出现的财富退出用于消费的问题。
一般而言，由于投资者在期末之前任何时期的决策都取决于他后续可能采取的决策，那么他就需要使用动态规划的方法［马科维茨（1959）首次提到这一点］来解决这个问题。即投资者在倒数的T-1期开始要使预期效用E［U（W T）|W T-1］最大化。E［U（W T）|W T-1］是一个取决于T-1期财富数额的函数。这会使在T-1期的财富的间接或溯源效用V T-1（W T-1）等于maxE［U（W T）|W T-1］，其中随机财富结果W T是在T-1期的时候将财富W T-1在无风险证券和有风险证券之间配置的结果。经过不断的后向递归作用，可知V T-2（W T-2）=maxE［V T-1（W T-1）|W T-2］，不断往复直至时点1，投资者就能决定当前在无风险证券和有风险证券之间最优配置，即要基于当期财富W 0使E［V 1（W 1）|W 0］最大化。莫森的分析是建立在重要的但是简单的随机游走假设之上的，即每一期的证券收益都独立于其他期的证券收益。
如果投资者能够短视地进行选择（即在每一个时点他都将决策当做最后一次决策），那么决策就变得十分简单了。因此，莫森问道：什么样的终期财富效用函数U（W T）才是投资短视的充分和必要条件？他的证明是，只有具有稳定相对风险规避（CRRA）的效用函数（对数效用和幂数效用）才具有此特性。即在每个时点t，这些投资者都使用V t（W t+1）=U（W t+1）在无风险证券和有风险证券之间进行最优配置。换言之，在各期进行最优配置，投资者只需要知道当期的财富和收益就可以了，他不必考虑至终期T余下来的时间或当期之后的收益情况。
对CRRA是短视投资的充分条件的证明
CRRA是短视投资的充分条件很容易理解。首先，投资者要使时点T=2的财富预期对数效用最大化：E［U（W 2）］=E［ln（W 2）］=E［ln（W 0r p1r p2）］，其中W 0是已知的初始财富额，r p1是他所选择的投资组合在第一期（从时点0到时点1）的随机收益，r p2是经过他调整（发生在时点1）的投资组合在第二期（从时点1到时点2）的随机收益，可知：
E［ln（W 0r p1r p2）］=E［ln（W 0r p1）+ln（r p2）］
E［ln（W 0r p1）+ln（r p2）］=E［ln（W 0r p1）］+E［ln（r p2）］
E［ln（W 0r p1）］+E［ln（r p2）］~ E［ln（W 1）］
符号~表示“近似于线性转换”。在这种情况下，第三步中的常数项E［ln（r p2）］可以省略而不影响我们在时点0的投资组合选择。这会生成时点1的财富W 1的效用。因此，V 1（W 1）=ln（W 1），从而有短视投资效应。值得注意的是，对数效用下的短视投资是十分显著的，这是因为即便r p1和r p2是相关的结果依然成立。这就是说，即使这些变量是相关的我们仍有第二步，这是因为两个随机变量之和的预期值等于它们各自预期值之和，即使它们之间是相关的。
现在来看看幂数效用：E［U（W 2）］=E［W 2b］=E［（W 0r p1r p2） b］，0<b<1。在这种情况下：
E［（W 0r p1r p2） b］=E［（W 0r p1） br p2b］
E［（W 0r p1） br p2b］=E（r p2b）E［（W 0r p1） b］
E（r p2b）E［（W 0r p1） b］~E（W 1b）
在这种情况下，乘数项E（r p2b）可以省略而不影响我们在时点0的投资组合选择。由于V 1（W 1）=W 1b，从而我们再次确认了短视投资效应。不过，要注意在此我们需要假设r p1和r p2是不相关的随机变量，否则第二步就不成立。换言之，两个随机变量乘积的预期值只有在这两个变量不相关的情况下才等于各自预期值的乘积。
而且，莫森指出在稳定相对风险规避（CRRA）情形下，在两项证券之间的最优分配比例也是独立于投资者的财富W t的，而只与当期的证券收益相关。
对CRRA是投资选择独立于最初财富命题的充分条件的证明
这也很容易理解。在单期的情况下，投资者要使其未来财富效用E［U（W 1）］最大化，其中未来财富W 1等于当期财富W 0乘以投资组合收益r p，即W 1=W 0r p。因此，投资者需要使E［U（W 0r p）］最大化。一般而言，这个目标不能与最初财富W 0分割开来。但是，在对数效用CRRA的情况下，U（W 1）=ln（W 1），因此投资者需要使下列数值最大化：
E［U（W 1）］=E［ln（W 0r p）］=E［ln（W 0）+ln（r p）］
=ln（W 0）+E［ln（r p）］~E［ln（r p）］
投资者的选择不会因为加入一个常数项而改变，因此，最初财富作为一个增加的常数项不会改变投资者的选择。
换幂数效用来看，U（W 1）=W 1b，0<b<1：
E［U（W 1）］=E［（W 0r p） b］=E［（W 0b）（r bp）］=W 0bE［r pb］~E［r pb］
投资者的选择不会受到新增正数乘数项的影响。最初的财富作为正数乘数项将不会影响选择。不难看出，这些效用函数详尽描述了那些初始财富不会影响选择的风险规避效用函数的集合。
如果这些收益是稳定的，那么投资者在每一期都会设置相同的投资组合比例。莫森把允许出现一些适度的未来预测定义为“半短视”，即知道未来的无风险收益和剩余时间，但仍不知晓当期之后的风险证券的收益。他指出，双曲线绝对风险规避（HARA）或者“类似”的效用函数是半短视的充分必要条件。尽管这些结果一般要严格依赖于证券收益的独立性假设，但莫森没有提到对数效用这个特例并不需要。
这种HARA级别的效用函数在后续的研究中扮演着重要角色，因为它们具有适宜的短视特征、分离特征（哈克森，1969年12月；卡斯-斯蒂格利茨，1970）和聚合特征（威尔逊，1968；鲁宾斯坦，1974）。这使得它们在消费和投资组合决策中很容易获得已知解以及均衡价格。如下效用函数属于且详尽描述了HARA：
（1）U（W t）~（b/（1-b））（A+BW t） 1-b（B≠0，1）
（2）U（W t）~-Ae -wt/A（B=0）
（3）U（W t）~ln（A+W t）（B=1）
其中，A和B是常数，b≡B -1。效用函数（2）是当B→0时（1）的极限值，效用函数（3）是当B→1时（1）的极限值。对数效用函数没有上下限的约束。b<1的幂数效用函数有下限但没有上限，b>1的幂数效用函数有上限但没有下限。这些函数是微分等式的解：
等式的左边是绝对风险规避的倒数，有时被称做“风险容忍度”。因此，HARA也被称做“线性风险容忍度”。很容易看出效用函数（2）是由那些具有稳定绝对风险规避（CARA）和效用函数（1）及（3）构成的。当A=0时，包含那些具有稳定绝对风险规避（CRRA）的所有效用函数。B（或b）经常被称做“谨慎度”。
莫森的文章结尾对投资组合的“收费公路”［这是源自利兰（1972）一文的非常恰当的称呼］现象做了一些评论。一个投资组合具有收费公路的特性是指：如果当投资者的投资期限无限长的时候，他的当前投资组合选择变得与投资期间无关。他注意到，HARA具有这样的特征，这是因为从极限的角度来看，HARA的投资者变成了CRRA的投资者。莫森推测，这些收费公路特征可能带来比HARA更广的效用函数。
萨缪尔森（1969）在广义多期消费附加效用函数下，拓展了莫森的结果。他指出，CRRA效用是短视投资的充分条件。此外，萨缪尔森还指出消费者（或投资者）的投资组合中的比例选择与他的消费决策无关，这个结果和哈克森（1970）的一样。他指出，那种认为对数效用策略是唯一适合于长期投资者的理性风险规避投资的想法可以被永远的摒弃了。例如，CRRA即便它是收费公路式投资的结果，但它只是对数效用的特例而不是唯一的对数效用。
哈克森（1971）是他所写的系列文章的第3篇［另外2篇分别是哈克森（1970）和哈克森（1969年10月）］，也是最具概括性的一篇。该文建立在菲尔普斯（1962）的研究之上，它假设一个人努力使其一生消费的预期效用最大化，同时还要留下一笔遗产。他要在消费、遗产、寿险、许多的风险证券和无风险证券（只是单期无风险）之间配置财富。允许个人拥有状态依存偏好以及不确定的寿命，而且他的投资机会（包括无风险收益）都随着时间变动而随机变动，且可能序列相关。
尼尔斯H.哈克森证实了莫森的观点，即终期财富函数的CRRA效用可能具有显著的收费公路特征。 [59]对莫森结果的首次拓展则来自于海恩·埃利斯·利兰。 [60]哈克森显著地降低了收费公路式投资的条件（一直都在证券收益序列独立的条件下）。他的结论是：“收敛的条件进一步弱化直至它们能包含大多数实践中感兴趣的效用函数”。斯蒂芬A.罗斯也推演出了相似的结果。 [61]
巴里·戈德曼做了进一步的研究。他指出，对数效用作为CRRA最为重要的特例，对于那些财富函数有限终期效用的投资者而言，一般来说它不是一种好的收费公路式策略。 [62]哈克森也证实，这些投资者的收费公路效用函数从未是对数效用的。