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1968年
共同基金业绩、阿尔法、贝塔、市场模型、幸运与技能
对共同基金业绩的度量不仅有助于投资者在不同的基金间进行资本配置，而且可能更为重要的是，它们为证券是否被合理定价提供了最佳的经验检验。与其他检验方法相比，该方法具有如下的优点：①它们是以实际盈利或损失为基础，而不是纸上财富；②它们是依赖投资技术和知识而获得的真实投资策略的结果，而不是想象策略的结果；③能够进行准确的检验，这些结果可以免受数据挖掘和生存偏差的影响；④它们覆盖了60多年数千只基金的数据资料；⑤它们总结了很多聪明高薪的基金经理的成功经验，这些基金经理把他们绝大多数时间花费在寻找误定价证券上；⑥它们检验了很多投资策略，包括那些可能很难转化为可检验数字的策略。如果这些由成熟投资者掌管的基金不能战胜简单的买卖指数基金的策略，那么一般的投资者很难战胜市场，即便他们每日耗费数小时的心血。
詹森（1968）认为，特雷诺（1965）和夏普（1966）等早期对投资业绩度量的指标尽管可以对不同的投资组合的业绩进行排名，但不能提供一个绝对的比较标准。因此，詹森提出了非常著名的“阿尔法”业绩指标。夏普（1964）、林特纳（1965年2月）、莫森（1966）和特雷诺（1999）的CAPM等式意味着：在均衡状态下对于任何投资组合P：
μ P=r+（μ M－r）β P （2-15）
其中，r表示无风险收益，μ M表示市场组合的预期收益，μ P和β P分别表示投资组合的预期收益和贝塔值。詹森认为，如果投资经理能够选择一只优于市场业绩的投资组合，考虑到风险，那么该投资组合的预期收益：
μ P=α P+r+（μ M－r）β P，其中α P>0 （2-16）
这就是詹森的绝对业绩标准。詹森进而认为，既然投资经理不应故意选择阿尔法为负值的投资组合，那么如果投资经理没有能力的话，阿尔法应该为0。
当然，这本身就与CAPM相矛盾，因为根据假设（尤其是假设所有的参与者拥有相同的信念），所有投资组合的α P应当等于0。而且，即便是允许CAPM出现错误定价使得一些投资组合的阿尔法是正值，那么其他一些投资组合的阿尔法就势必为负值（之前我在对市场模型的讨论中已经提到这一点）。但是詹森继续使用（上述细节从未阻止坚定的经验主义者的步伐）马科维茨（1959）和夏普（1963）的斜线模型或市场模型将预期收益转换为实现收益，他提出：
r p-r=α p+（r M-r）β p+ε p （2-17）
其中，r p和r M是实现收益，且E（ε j）=ρ（r M，ε j）=0。对于任何两只不同的证券j和k，ρ（ε j，ε k）=0，且假设它们的收益r j和r k是联合正态分布。詹森认为，这个等式能够代表证券经过一段时间的实现收益，也能代表横截面收益，对于相同的投资组合的ε的序列相关度为0。如果不是这样，那么投资经理就可以通过这个信息获取超额的预期收益，这会成为投资组合阿尔法的一部分，因此最终ε的序列相关度一定为0。
当然，任何将投资组合收益与市场收益回归获得的阿尔法只是阿尔法的估计值而不是真实值。幸运的是，我们可以应用高斯-马尔科夫定理，样本分布的阿尔法估计值遵守n p-2个自由度的t分布，其中n p表示投资组合P在观察期的个数。这样我们就可以判定阿尔法在统计上的显著性。
使用詹森所勾勒的市场模型需要严格要求投资组合的贝塔β p跨期稳定。这是一个不现实的条件。不过，詹森很聪明论辩到：这会使β p向下有偏，从而对α p的估计会出现向上有偏。不幸的是，詹森似乎犯了一个数学错误。事实上，对样本投资组合的贝塔值估计是向上有偏的，从而使对α p的估计会出现向下有偏。
詹森分析中出现的一个明显错误
詹森认为投资组合的业绩有两个来源：市场择时和证券选择。存在一个正常的贝塔，在这个正常的贝塔周围基金经理会努力挖掘自己的市场择时能力。如果β N表示正常贝塔，那么如果市场处于牛市，投资经理则会选择β pt>β N；如果后来市场变成了熊市，那么他会选择β pt<β N。为了反映这种行为，我们可以假设β pt=β N+μ pt，其中E（μ pt）=0且μ pt是正态分布。很明显，投资经理会努力使μ pt与π t≡r Mt-μ Mt正相关，这样我们可以假设μ pt=α pπ t+ω pt，其中E（ω pt）=0，ρ（π t，ω pt）=0，且ω t是正态分布的。然后，詹森认为α p≥0，这是因为如果α p<0是不理性的，那么α p=0则意味着没有市场择时能力。
对β N的最小二乘估计是β N，其中
接着用市场模型替换r pt-r t，然后用β N+μ pt替换β pt，用α p（r Mt-μ Mt）+ω pt替换μ pt，则会有：
消除协方差中的常数项，且根据零相关假设可将一些项设为0：
很容易看出，对于任何随机变量x，Cov（x 2，x）=E（x 3）-μσ 2-μ 3。而且，对于任何随机变量x，E［（x-μ） 3］=E（x 3）-3μσ 2-μ 3。现在，如果x是正态分布的，偏度E［（x-μ） 3］=0。整合在一起，Cov（x 2，x）=2μσ 2，将这个结果代入上式，可得：
E（β N）=β N-α p（μ M+r）+α p（2μ M）=β N-α p（μ M+r）>0
不过，这种偏差不会太显著，至少对詹森的样本来说是这样。回想一下，特雷诺-梅祖（1966）在他们的共同基金样本中没有发现市场择时能力的证据（即是说α p≈0）。
詹森从威森伯格《投资公司》中收集到1955~1964年115只共同基金的年度价格和股利的数据，以及尽可能多的有关这些基金在1945~1954年间的数据。他使用市场模型为每只基金测量1945~1964年间的贝塔。所有基金的平均β是0.840，因此如果不调整风险，那么与市场进行业绩比较就会低估基金的业绩。市场模型回归的相关系数是0.930，这表示与夏普之前的发现一样，即大多数基金的业绩变动能够通过市场收益来解释。与夏普（1966）一样，詹森的研究忽略了载荷费，这是因为研究目标是度量投资经理的预测能力而不是投资者收益。基金收益扣减管理费后的市场模型回归结果显示：阿尔法的平均值是-1.1%，76只基金的阿尔法值为负数，另外39只基金的阿尔法值为正数。如果使用毛收益（即把管理费加回来），那么阿尔法的平均值变为-0.1%。考虑到基金持有少量的现金，那么平均阿尔法将变为-0.04%，几乎等于零。而且，拥有正值阿尔法的基金与拥有负值阿尔法的基金数量大致相等。
尽管没有证据说明一般基金能够战胜市场，但至少有些基金或许能通过技能来战胜市场。用扣除管理费后的净收益为每只基金进行时间序列回归，詹森计算了这些基金的阿尔法值的t值。14只基金的阿尔法值为负数，3只基金的阿尔法值为正数且在5%水平显著。不过，这115只基金假设其残差收益εp为正态分布，在市场模型回归中只有5只或6只有正阿尔法值且能在5%水平显著。詹森的文章是这样结尾的：
上述有关共同基金业绩的讨论表明，不仅这115只基金平均而言不能很好地预测证券价格从而在业绩上优于“购买市场而后持有”的结果，而且鲜有证据支持任何一只基金能够显著的优于我们随机挑选的基金的业绩。值得注意的是，即便当我们度量基金业绩时不剔除管理费（即假设它们的记账、研究和佣金之外的其他费用都属于实得费）这些结论依然成立。因此，平均而言这些基金的交易活动明显不太成功，甚至不能补偿它们的交易费。（p.415） 24
不幸的是，在詹森的文章中有一个假设没有被检验，即不同基金投资组合的残差收益的横截面相关度为0。即便将市场模型假设应用到单个证券j和k且ρ（ε j，ε k）=0是正确的［我们知道事实不是这么回事儿，见金（1966）］，由于共同基金的投资组合包含许多相同的证券，因此对于任意两个投资组合P和Q，ρ（ε P，ε Q）=0非常有可能不成立。詹森需要这个假定来解释阿尔法在横截面上的显著差异。如果所有的115只共同基金持有的是完全一样的投资组合，那么阿尔法在横截面上的差异就不显著了，这是因为它们事实上都来自同一计算样本。
大约10年后，诺曼E.梅因斯再次证实，即使是最谨慎的经验研究者都不可能方方面面都考虑周全。 [63]尤其是詹森假定基金分红在年末会被再投资于同一只基金（因为他只使用的年收益）。詹森相信由此带来的偏差可以忽略不计。梅因斯指出，詹森所研究的时期股票收益显著上涨，在这个期间上述偏差可能就很重要。詹森也假定基金的贝塔在20年的观察期内是稳定的，但是度量阿尔法时他使用的是最近10年的贝塔。事实上，根据梅因斯的观点，大多数基金近10年的贝塔要比第一个10年的贝塔低，这会使度量出的阿尔法出现下偏。对詹森的方法进行修正后重做的检验推翻了詹森的结论，即一般基金的阿尔法是0而不是负数。不过，为了修正红利再投资的问题，梅因斯只收集到詹森115个样本中的70只基金的月度数据（这些数据是共同基金自愿提供的）。不幸的是，不同的样本不仅不能与詹森的结果直接比较而且可能被认为结果是有偏的，这是因为可能只有那些业绩好的基金才愿意提供它们的月度数据。
詹森的文章在检验投资者业绩的悠长历史中［这个历史可能是由考尔斯（1933）开创的）］堪称一座里程碑。它使很多金融经济学家相信，不仅一般的美国股票基金不能战胜价值加权的市场指数，而且也没有证据说明会有基金能不靠运气而战胜市场指数。