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3.1 期望收益
如果我们有机会掷一个六面的骰子，每掷一次我们能得到与朝上那一面数字相同数量的美元，也即如果掷出1得到1美元，掷出2得到2美元，……，掷出6得到6美元。如果我们可以无限次地掷下去，平均来讲，我们每掷一次骰子能得到多少美元？
我们可以利用简单的算术原理计算一下结果。可能的结果是6个数字，并且它们出现的可能性相同。如果我们将6种可能的结果相加1＋2＋3＋4＋5＋6＝21并除以面数6就得到 就是说，平均来讲每掷一次骰子能得到 美元，这是平均或期望（expected）收益。如果要对掷骰子的权利进行收费，我们愿意支付多少？如果购买一次掷骰子权利的费用低于 美元，长期来讲我们会成为赢家；如果高于 美元，长期来讲我们会成为输家；如果我们支付的费用正好等于 ，我们会盈亏平衡。请注意这里的表述是“长期来讲”。只有允许掷无数次骰子， 美元的期望收益才能实现。如果只允许掷一次骰子，我们不能指望得到 美元的回报。事实上，任何一次掷骰子都不能得到 美元的回报，因为骰子的6个面中没有一个面的数字是 。无论如何，如果掷一次骰子的费用低于 美元，由于费用小于期望收益，在概率的角度上来说我们是有利的。
同样的道理，我们可以用来分析轮盘赌。轮盘上有38格，分别标注数字1~36、0、00。 [1]假设赌场规则是赌徒先选择数字，如果轮盘转动结束后显示的数字与赌徒所选数字相同，赌徒得到36美元；如果轮盘转动结束后显示的数字与赌徒所选数字不相同，赌徒没有收入。这种情况下赌徒的期望收益是多少？轮盘上共有38格，每格出现的概率相同，但只有选中其中正确一格的赌徒才能得到36美元。如果用轮盘上的38格去除36美元的收益，结果是 美元，或约为95美分。如果赌徒为选择轮盘上一个数字的权利支付95美分的话，长期来讲他会盈亏平衡。
当然，没有赌场会将每次赌博的赌资定为95美分，这就意味着赌场赚不到钱。现实世界中，赌徒需要支付超过期望收益的赌资才能参与赌博，上述的美国轮盘赌赌资通常为1美元。95美分期望收益与1美元赌资间5美分的差异就是赌场的潜在收益，或称胜率（edge）。长期来讲，轮盘赌中的每1美元赌资，赌场平均能获得5美分的利润。
在以上条件下，想要获得盈利的赌徒只能与赌场互换位置才能盈利，就是以1美元卖出价值95美分的赌博权利，从而获得5美分的期望收益。另一种方法是，他可以寻找每次赌博赌资低于期望收益95美分（可能是88美分）的赌场，就能得到一些期望收益（7美分）。
[1] 这里是根据美国轮盘赌的情况，美国轮盘中通常有38 格。世界其他地方的轮盘可能没有00格，这会改变概率（odds）。