Local EPUB Text
4.5 对数正态分布
将标的资产价格假设为正态分布是合理的吗？抛开真实世界中价格的确切分布不谈，正态分布假设有个致命的缺陷，即正态分布曲线是对称的。在正态分布的假设下，对于标的资产价格一个可能的向上变动，必定有一个相应的同样多数量的向下变动。假设我们允许现在价格为50美元的资产价格上涨75美元到125美元，我们也必须允许该资产价格下降75美元到-25美元。但由于传统股票和商品不可能出现价格为负的情况，正态分布的假设明显是有缺陷的。那么我们该如何处理呢？
到目前为止，我们将波动率定义为标的资产价格变动的百分比。从这个角度来说，利率和波动率是相似的，因为它们都代表了收益率（rate of return）。利率和波动率的主要区别是利率一般以正比率发生，而波动率则是既可为正也可以为负的收益率。如果投资者以固定利率进行投资，本金的价值总会增加。但如果投资在一个波动率不为0的标的资产上，该资产价格既可以上升也可以下降。作为标准差的波动率，不会告诉我们价格变动的方向。
由于波动率代表了某种收益率，一个重要的考虑是这种收益率的计算方式。例如，我们以12%的年化利率投资1000美元，1年后我们会得到多少钱？答案取决于12%的年化利率是如何支付的。
尽管每年年化利率仍为12%，当利息支付更频繁时，投资的总收益率增加了。当利息是连续支付时，总收益率是最大的。在这种情况下，利息就像每时每刻都在支付一样。
虽然不太可能，但我们可以使用负利率做同样的计算。例如，假设我们投资的1000美元以-12%的年化负利率亏损。年底我们的投资将会变为多少？答案取决于我们的损失所发生的频率。
在负利率的情况下，尽管损失同样是以年化12%计算的，在损失计算更频繁的情况下，损失更小，总的收益率（负）也更大。
与利率可以在不同的时间间隔下进行计算的原理类似，波动率也可以在不同的时间间隔下进行计算。为了对期权合约价值进行理论定价，波动率被假设为连续复利计算的，就像或上或下的标的资产价格变动一样是连续的。标的资产的波动率通常以年化值来表示。
当假设标的合约价格每时每刻以既定百分比上涨或下跌，且这种上涨和下跌是正态分布的，会产生怎样的后果？当价格变化被假设为正态分布时，这些价格变动的连续计算将使到期价格的分布为对数正态分布（lognormally distributed）。这样的分布是右偏的，这是因为在绝对数上由正收益率引起的价格上涨比由负收益率引起的价格下跌的可能性更大（见图4-7）。在我们的利率例子中，以12%年化利率连续复利1年后将产生127.50美元的利润，以负12%年化利率连续复利1年后将产生113.08美元的损失。如果12%是波动率，那么1年后价格1倍标准差的向上变动是+127.50美元，而1年后价格1倍标准差的向下变动是-113.08美元。尽管收益率都是12%，12%的连续复利产生了价格上涨和价格下跌的不同变化。
图4-7 对数正态分布
布莱克–斯科尔斯模型是一个连续时间（continuous time）模型。它假设标的资产价格波动率在期权存续期内是不变化的，但波动率是连续计算的。这两个假设意味着到期时标的资产的可能价格是对数正态分布的。这也解释了为什么具有较高执行价格的期权比较低执行价格的期权具有更高的价值（这里，两个执行价格与标的资产价格差别相同）。例如，假设某标的合约的交易价格为100，如果不考虑利率因素，并假设价格变动是正态分布的，执行价格为110的看涨期权和执行价格为90的看跌期权都是10%的虚值期权，它们的理论价值应是相同的。但是在布莱克–斯科尔斯模型对数正态分布的假设下，执行价格为110的看涨期权的价值大于执行价格为90的看跌期权的价值。从绝对值的角度来说，对数正态分布对价格上涨比对价格下跌赋予更大可能性。因此，执行价格为110的看跌期权的价格上涨可能性要大于执行价格为90的看跌期权。 [1]
最后，将对数正态分布假设纳入布莱克–斯科尔斯模型就克服了我们开始提出的逻辑问题。如果我们允许标的资产价格能够向上无止境的变动，正态分布会要求我们允许价格向下无止境地变动。这等于是我们必须接受标的资产出现负数价格的可能性，这对于大部分可供选择的投资工具而言显然是不太可能的。而对数正态价格分布允许价格无限地向上变动（正无穷的对数值是正无穷），价格向下变动的界限为0（负无穷的对数值是0）。这是对真实世界中价格分布的一种更加合理的描述。
对于对数正态分布价格变化和概率计算更加完整的讨论参见附录B。
现在，我们可以对布莱克–斯科尔斯模型中描述价格变动的大部分重要假设进行总结。
（1）标的资产价格变化是随机的，而且不能被人为操纵的，也不可能提前预测标的资产价格的变化方向。
（2）标的资产百分比价格变化是正态分布的。
（3）由于标的资产价格变动百分比被假设为连续计算的，因而到期时标的资产价格是对数正态分布的。
（4）对数正态分布的均值将等于标的合约的远期价格。
有些交易者可能对第一个假设提出质疑。利用技术分析的交易者认为通过观察过去价格的变动，就能预测价格未来变化的方向。可以画出支撑点与阻力点、双头和双底、头肩底以及许多可以预测未来价格变化趋势的类似形态。我们把这类讨论留给别人。这里要强调的重要一点是布莱克–斯科尔斯模型假设价格变化是随机的，且变化方向是不可提前预测的。这意味着在使用布莱克–斯科尔斯模型过程中，不是不需要对价格进行预测，而是价格预测关注的是价格变化程度而非价格变化方向。
正如我们即将看到的，对于第3个假设（即到期价格是对数正态分布的），我们也有很好的质疑理由。对数正态分布假设对于某些市场可能是合理的，但对于其他市场可能并不成立。还要强调的是，使用理论定价模型的交易者要理解理论价值所基于的假设。然后，交易者可以根据特定市场的知识做出自己的决定，判断这些假设以及利用理论模型计算出的理论价值是否准确。
[1] 当然，这只是理论。没有规定说市场上执行价格为90的看跌期权价格不能大于执行价格为110的看涨期权价格。