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15.5 指数套利
理论上讲，期货合约价格总是反映持有期货合约的合理价值，而非持有指数成分股的合理价值，但市场并非总是百分之百完全有效的。如果期货价格并不能反映其合理价值，交易者就可以构建可获利的套利策略，买入定价过低资产（可能是一揽子股票或者是期货合约）、卖出定价过高资产。如果交易者认为股指期货的合理价值为386.75，而股指期货市场价格为387.40，交易者就可以尝试按比例买入指数一揽子成分股，同时卖出股指期货合约。交易者头寸构建完成后，如果股指期货合约每点价值为500美元，理论上讲投资者在每份股指期货合约上能够获得的收益为
（387.40－386.75）×500＝0.65×500＝325（美元）
当然，该收益只能在股指期货到期时按指数价值结算后才能实现。同时，交易者还要将其持有的股票平仓，从而保证到期时没有持有期货和股票头寸。以上操作可以通过收盘市价单（market on close order）来实现，从而保证交易者股票平仓价格等于决定最终指数价值的指数成分股股票最新成交价。
如果股指期货合理价值是386.75，但实际交易价格为385.95，又应该怎样操作？此时，交易者可以持有相反的头寸，即买入定价过低的股指期货合约、卖出一揽子指数成分股股票。理论上的收益为
（386.75－385.95）×500＝0.80×500＝400（美元）
可惜的是，有很多实际问题会影响以上交易策略的可行性。如果交易者希望卖出自己并不持有的股票，他只能从外部借入。如果交易者不能借到相关股票，或者交易者所在的市场不允许股票卖空，不管股指期货定价如何错误他也不能构建以上套利策略。最后，交易者并不能得到卖空股票所获得资金的全部利息。如果实际利率水平小于计算股指期货合理价值的利率水平，从交易的角度来说股指期货合约的合理价值就要少于假设的合理价值386.75。
这种买入或卖出定价错误的股指期货合约并在标的股票上持有反向头寸获利的交易策略，是指数套利策略中的一种。由于计算机可以编好程序实时计算股指期货合约合理价值，并在股指期货定价错误时自动构建套利头寸，因此这种策略通常也被称为程序化交易（program trading）。买入程序（buy program）是买入股票、卖出股指期货；卖出程序（sell program）是卖出股票、买入股指期货。
在股指期货定价与标的股票定价偏差多大时才应该进行套利呢？如果是完全无摩擦市场（frictionless market），只要存在定价错误，无论定价偏差多小交易者都会构建套利头寸。可惜的是，市场通常不是完全无摩擦的，如果考虑到交易成本的话，很多理论上可获利的股指期货套利策略实际上并不能获利。如果交易者认为完成套利所需要的全部交易成本是 指数点的话，股指期货定价错误只有在超过0.50点的情况下交易者才会进行程序化交易。如果考虑到股票卖空的问题，交易者可能决定只有股指期货定价偏低0.75点时才会启动卖出程序。当股指期货合约合理价值为386.75时，交易者启动程序化交易的股指期货价格要在以下范围之外
（386.75－0.75）~（386.75＋0.50）
也就是股指期货价格低于386.00或高于387.25时，交易者才会启动程序化交易。
即使指数报价为386.75、股指期货合约报价高于387.25或低于386.00，交易者也不能确定存在交易机会。为了构建套利头寸，交易者需要完全按照对应指数386.75点的价格交易所有成分股股票。但每只股票都有买入报价和卖出报价，很有可能部分成分股股票的最新成交价是按买价计算的、有些是按卖价计算的，而有些则是按两者之间的某个价格计算的。如果交易者希望立即执行买入程序，他可能就需要按卖出报价买入所有成分股股票，而此时的买入价格可能会高于指数对应的价格。
另外，指数报价有时可能是对现实市场条件的扭曲反映。指数本身报价是386.75，这是否就意味着所有成分股股票都是按这样的价格水平在交易呢？也许有些股票由于重大消息而停止交易，也许某只或某些股票的最新价格已经发生变化。某只股票最后成交价格是 ，如果股价下跌迅速，股票最新报价已经变为 。指数价值是基于该股票最后成交价格 计算的，但该股票最新实际价格至多是 ，甚至更低。如果交易者希望利用股指期货合约的定价错误获利，他必须知道所有指数成分股的真实市场价格。
假如交易者都能以理论上可获利的价格买入或卖出，那么利用股指期货和股票现货组合交易的程序化交易是否就不存在其他问题了呢？假设交易者买入定价过低的股指期货，同时卖空成分股股票，如果指数开始下跌，股指期货合约跟随下跌，交易者将在其股票现货头寸上获利，而在股指期货合约交易上遭受损失，并假设二者能够相互抵消。可惜的是，由于股票交易是股票型结算模式，只会产生纸面上的收益；而期货交易是期货型结算模式，会产生现金流出。如果指数下跌幅度很大，交易者必须借入资金满足期货合约的变动保证金要求，由此产生的利息可能会很大，使原来可能盈利的套利头寸出现损失。这种情况与第11章描述的期货期权市场上转换套利或反转套利面临的结算风险类似。
从这个例子中我们可以看出，程序化交易总是希望市场价格变化跟随期货合约变化的方向，这样资金就流向交易者的账户。资金流入会在期货合约存续期内产生利息，从而提高交易者的潜在利润。从这个角度讲，可将期权合约中Delta值的概念应用到期货合约中。Delta值用来描述衍生品合约理论价值随标的合约价值变化而变化的程度。举例来说，假设股指报价300.00，如果还有3个月到期，利率为8%，预期股利支付为4.50，期货合约的合理价值约为
假如指数突然上涨10%到330.00，期货合约新的合理价值为
指数上涨30.00，而股指期货上涨30.60，因此股指期货合约的Delta值为102，即30.60/30.00＝1.02。期货合约价值变动幅度是标的指数变动幅度的102%。
如果我们假设股利支付保持不变，期货合约的Delta值就是利息的函数。两个影响期货合约Delta值的因素是8%的利率水平、3个月的到期时间， 当到期时间与利率发生变化，期货合约Delta值也会随之发生变化。
现在我们可以用Delta值的概念来表述程序化交易中的不平衡问题了。如果交易者买入50份期货合约，每份期货合约的Delta值都是102，卖出相应数量的标的指数成分股股票，交易者整个头寸的Delta值为
（50×102）－（50×100）＝＋100
此时，交易者的多头正好相当于买入1份股指期货合约所对应的所有成分股股票。因此，交易者若要使头寸保持Delta中性，他必须卖出1份股指期货合约对应的所有成分股股票。
利率的变化不但会改变期货合约的Delta值，还会影响到程序化交易的盈利能力。如果交易者启动了买入程序（买入股票、卖出期货），他就要借入资金买入股票，假如资金成本与浮动利率相关，利率上涨会降低头寸的盈利能力、利率下跌会增强头寸的盈利能力，如果交易者启动了卖出程序（卖出股票、买入期货），他就可以将流入的资金借出获得利息收入，此时利率上涨会增强头寸的盈利能力，利率下跌会降低头寸的盈利能力。如果利率水平变化足够大，原本能够盈利的程序化交易可能会变为不盈利。特别是在程序化交易中有期限特别长的期货合约时，由于借入、借出资金的期限都很长，利率因素的作用就变得更加重要。同样道理，由于利率因素影响降低，利率变化对涉及短期期货合约的程序化交易影响不大。
到目前为止，我们都假设指数成分股股利支付均保持不变，但现实世界中并非如此。上市公司收益在不同年份有好有坏，股利政策也会随之发生变化。在买入程序（买入股票、卖出期货）中，股利上升增强头寸收益，股利下降则使头寸受损；在卖出程序（卖出股票、买入期货）中，股利的作用正好相反。对于由上百只股票构成的宽基指数（broadly based index）而言，一只甚至几只股票的股利政策变化都不会对程序化交易的盈利能力产生影响。但对于由少量股票构成的窄基指数（narrowly based index）而言，甚至一只股票预期股利发生变化都会改变交易的潜在获利能力。在这种情况下，交易者必须提前仔细考虑指数成分股股利政策变动的可能性。