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附录B 期权定价的数学原理
B.1 期权定价模型
1.布莱克–斯科尔斯模型及其变形
后续数学公式中所用到的缩略语：
C＝看涨期权理论价值
P＝看跌期权理论价值
U＝标的合约价格
E＝执行价格
t＝以年计的剩余到期时间
v＝以小数表示的年化波动率
r＝以小数表示的无风险利率
e＝自然对数的底
ln＝自然对数
N'（x）＝正态分布的概率密度函数
＝
N（x）＝正态分布的分布函数（N'（x）曲线所覆盖的面积）
（1）布莱克–斯科尔斯模型： [1]适用于基于无股利发放股票（U为标的股票价格）的欧式期权的估值。
这里，
对于发放股利的股票而言，股票价格（U）可以替代为当前股票价格减去预期股利的现值：
这里，d i＝期权存续期内预期的每次股利
t（i）＝以年计的每次股利发放时间
布莱克–斯科尔斯模型的敏感程度指标为：
看涨期权Delta＝N（h）
看跌期权Delta＝-N（-h）
（2）布莱克模型[2]：适用于基于期货合约的欧式期权的估值（U＝期货合约价格）。
布莱克模型的敏感程度变量为：
（3）Garman Kohlhagen模型[3]：适用于基于外汇（U＝以本币单位表示的外币价格）的欧式期权。
r d＝本国货币的无风险利率
r f＝外国货币的无风险利率
Garman Kohlhagen模型的敏感程度指标为：
看涨期权Delta＝e-rftN（h）
看跌期权Delta＝-e-rftN（-h）
注意：上面公式中的Theta值是以年计，若以常用的以天计，结果必须除以365。
上面公式中的Vega值是对波动率100%变动（100个百分点变动）的敏感度，如果将其表达为常见的对波动率1%变动（1个百分点变动）的敏感度，结果需要除以100。
（4）Darren Wilcox模型： [4]布莱克模型的一种变形，适用于标的合约（U）价格假设正态分布的情况（因此，标的合约取值可能会出现负值）。
注意：由于这一变形模型假设的是正态分布而非对数正态分布，因此波动率v是绝对价格变化的标准差，而不是价格变动对数的标准差。
使用布莱克–斯科尔斯模型及其变形模型唯一的困难在于正态分布函数N（x）的计算。N（x）值可在绝大多数统计表中找到。另外，对绝大多数实际应用来说，也可以采用以下近似计算：
如果x≥0，那么：
N（x）＝1－N'（x）（0.4361836k－0.1201676k 2＋0.9372980k 3）
这里：k＝1/（1＋0.33267|x|）
并且N'（x）为前面提到的正态分布概率密度函数。
如果x＜0，那么：N（x）＝1－N（-x） [5]
2.Cox-Ross-Rubenstein模型（二项式模型） [6]
Cox-Ross-Rubenstein模型假设在任何时间段内标的合约的价格都可能上涨（u）或下降（d）一个固定值。价格上涨的可能性为p，价格下降的可能性为1-p。举例来说，假设某合约交易价格为100，下一时段合约价格可能上涨至105（u＝5）或下降至95（d＝-5），上涨和下降的概率都是0.5。如果这一时段正好是剩余到期期限，没有利率因素的话，我们可以计算出执行价格为100的看涨期权的价值。如果标的合约价格超过执行价格，看涨期权的价值是内在价值；如果标的合约价格低于执行价格，看涨期权价值为0。期望收益为：
0.5×（105－100）＋0＝2.50
同样的方法可以计算出执行价格为90的看涨期权的价值为：
0.5×（105－90）＋0.5×（95－90）＝10
按此方法我们可以将剩余到期期限分成很多阶段，并假设每个阶段内标的合约价格总是上涨（u）或下跌（d）。到期时的结果就是一个二叉树（binomial tree），标的合约到期时存在多种可能价格。一个三阶段的二叉树如图B-1所示。
图 B-1
如果我们假设价格上涨概率p和价格下降概率1-p在二叉树中的每个节点都相同，就可以计算出每种到期价格出现的概率，再将期权实值时的价值（即将标的合约价格减去执行价格）乘上每种到期价格出现的概率，加总后就得到期权到期时的预期收益。所有期权虚值时的结果都变为0。
为了使二叉树更接近于对数正态分布，可以定义：
式中，n——距离到期的阶段数量（二叉树中分叉的次数）；
v——标的合约价格变动年化波动率；
t——以年计的到期时间。
当n很大时，最终二叉树终端价格近似于对数正态分布。
价格上涨的概率p由标的合约无套利状态所决定，也就是交易标的合约不能获得利润。如果不考虑利率因素，正如期货合约市场那样，价格上涨概率p满足以下条件时标的期货市场为无套利市场
p＝（1－d）/（u－d）
在无套利的股票市场上，每阶段股票价格上涨必须要等于增加的持有成本。如果无风险利率为r，那么每阶段股票必须上涨的比例rr应为
rr＝1＋（rt/n）
股票价格上涨的概率p满足以下条件时，我们可保证标的股票市场是无套利的：
p＝（rr－d）/（u－d）
最后，我们必须将预期收益折现，即预期收益减去期权存续期内持有成本后再乘上1/（rr） n。
Cox-Ross-Rubenstein模型的基本公式为：
为了利用Cox-Ross-Rubenstein模型对美式期权进行估值，每个阶段开始前我们先要确认是否需要提前执行期权。举例来说，在两阶段二叉树例子中，标的合约价格为100，我们可以看到执行价格为90的看涨期权价值为10。如果期权是现金结算，期权的理论价值是10减去存续期间内的持有成本。如果持有成本为0.25，期权的理论价值为9.75。然而，如果期权是美式期权，每个人都会选择提前执行从而立即获得10点的收益。换句话说，如果期权是美式期权就需要设定理论价值为10。
如果定义U（i，j）为在第i阶段末的第j个标的合约价格（见图B-2），C（i，j）、P（i，j）分别为对于U（i，j）的看涨期权和看跌期权价值，那么我们每次在对美式看涨期权估值时都要检验是否C（i，j）＜U（i，j）-E；每次在对美式看跌期权估值时都要检验是否P（i，j））＜E－U（i，j）。如果满足以上条件，期权就要被提前执行，并将C（i，j）的价值设定为U（i，j）-E，或将P（i，j）的价值设定为E-U（i，j）。
图 B-2
我们从计算每个标的合约终端值U（n，j）（j＝0，…，n）开始，利用标的合约终端值可计算每一前置节点的期权价值C（n－1，j）或P（n－1，j）（j＝0，…，n－1）。如果C（n－1，j）小于U（n－1，j）-E或P（n－1，j）小于E－U（n－1，j），则期权价值为平价，重复过程继续。通过设定每个节点的标的合约价值U（i，j），并对看涨期权赋值为max[C（i，j），U（i，j）-E]、对看跌期权赋值为max[P（i，j），E－U（i，j）]，直至回溯计算出C（0，0）和P（0，0）的价值（看涨期权或看跌期权的当前价值）。
由于期权的Delta值表示的是期权价值对标的合约价格变化的敏感度，我们还可以从二项式模型中计算出看涨期权和看跌期权的Delta值：
选取的n越大，由该模型计算出来的期权价值就越准确。可惜的是，当n取值越大的时候，美式期权估值所需的计算量呈几何倍数增长。绝大多数交易者使用Cox-Ross-Rubenstein模型时选择的n一般介于25到50之间。这是在电脑计算时间和准确性之间做出权衡后的合理结果。
3.Whaley模型（二次式模型） [7]
Whaley模型使用估计美式期权提前执行时最优标的合约价格U *的近似技术，然后使用U *来确定期权的价值。
为了寻找看涨期权的U *，需要解以下方程：
（为了方便起见，我们称等式两端分别为LHS（等式左端）和RHS（等式右端））
式中，b＝标的资产的持有成本（对于期货合约，b＝0；对于股票，b＝r）；且所有其他变量含义均与布莱克–斯科尔斯模型中使用的变量含义相同。
为解得U *，我们需要先设定期望的准确程度ε
（LHS－RHS）/E＜ε
然后进行进步的迭代，每次用下式替代U *i
U *i+1＝[E＋RHS－b iU *i]/（1－b i）
这里：
U *的计算结果满足准确度标准后，美式看涨期权的价值C及其Delta值Δ可通过下式解出
式中，c＝欧式看涨期权价值
δ＝欧式看涨期权的Delta值
A 2＝（U*/q2）[1－e（b-r）tN（hU*）]
为解得看跌期权的U *，需要求解以下方程：
（与上述类似，我们称等式两端分别为LHS（等式左端）和RHS（等式右端））
式中，b＝标的资产的持有成本（对于期货合约，b＝0；对于股票，b＝r）；且所有其他变量含义均与布莱克–斯科尔斯模型中使用的变量含义相同。
为解得U *，我们需要先设定期望的准确程度ε
（LHS－RHS）/E＜ε
然后进行进步的迭代，每次用下式替代U *i：
U *i+1＝[E－RHS－b iU *i]/（1－b i）
这里：
U *的计算结果满足准确度标准后，美式看跌期权的价值P及其Delta值Δ可通过下式解出：
式中，p＝欧式看跌期权价值
δ＝欧式看跌期权的Delta值
A 1＝-（U*/q1）[1－e（b－r）tN（hU*）]
B.2 正态分布
由于价格变动是正态分布的假设在很多理论定价模型中处于非常重要的地位，因此有必要清楚如何计算与正态分布相关的数据。
1.均值
分布的均值（m）是所有n个结果x i的平均
2.标准差
分布n个结果的标准差（σ）被定义为
如果分布是正态分布，约有68.3%的数值会落在均值加减一倍标准差之内，约有95.5%的数值落在均值加减两倍标准差之内，约有99.7%的数值落在均值加减三倍标准差之内。
3.偏态与峰态
如果分布近似于正态分布，需要知道分布与真正正态分布的偏差，我们可以通过计算分布的偏态与峰态来确定。
很多与分布相关的测度都来自于分布的矩（moment）。通常，关于均值的分布的第j个矩为：
为确定分布的偏态和峰态，需要分布的第二、第三、第四个矩：
分布的偏态被定义为：
正态分布的偏态值为0。如果分布是正偏态的（Sk>0），右尾要长于左尾；如果分布是负偏态的（Sk<0），左尾要长于右尾。
分布的峰态被定义为：
正态分布的峰态值为0（常峰态（mesokurtic））。如果分布的峰态值为正（Ku>0），数值多落在分布的中间位置及极端尾部（尖峰态（leptokurtic））；如果分布的峰态值为负（Ku<0），数值很少落在分布的中间位置及极端尾部（低峰态（platykurtic））。
绝大多数电子表格软件都包括均值和标准差的计算函数，有的软件还可以计算出偏态和峰态。我们可以举个例子演示一下计算过程。
考虑图4-2中小球的落点分布（见图B-3）。为了计算均值，需要将每栏中的小球数乘上每栏对应的序号，加总（563）后再除上小球数（75）：
为了计算标准差，要将每个小球所落在的槽序号减去均值后取平方，并将所有75个结果相加，除上样本数减1（74），并取平方根：
图 B-3
详细的偏态和峰态的计算需要更多步骤，这里只给出计算所需的取值：
m 2＝8.810
m 3＝0.185
m 4＝213.455
B.3 波动率计算
1.历史波动率
历史波动率被定义为固定时间段内价格变动对数的标准差。由于结算价通常被认为是最可靠的价格，绝大多数波动率计算方法都利用结算价到结算价的变动。将每次价格变动定义为：
这里：P i为第i个时间区间内标的合约的价格；P i/P i-1有时被称为价比（price relative）。
举例来说，考虑图5-1中的价格变化波动率：
首先，我们计算价格变动对数的标准差：
然后，将标准差乘上价格变动时间区间数的平方根，从而得到年化波动率。由于观测的价格变动是每周的，因此时间间隔数为365/7：
我们也可以利用同样的方法计算如图5-2所示的股票价格波动率，但要记住波动率是基于远期价格计算的。因此，需要做出两个方面的调整。由于任意区间内，为了保持市场理论上的无风险套利，股票价格的上涨幅度要等于该区间内的持有成本。如果以周为单位计算股价变化，股价预期上涨r/52，这里r为年化无风险利率。价格变化可以表示为
当上市公司发放股利时，该事件并不一定会改变股票价格。因此在计算股票除息区间内股票价格变化时，要考虑股利因素D
在很短时间内或在低利率市场环境下，利率对远期价格的影响是非常小的，通常在计算历史股价波动率时可以忽略。
2.极值法 [8]
当可靠的结算价不能得到时，极值法是一种可接受的计算历史波动率的替代方法。这种方法利用时间区间内的最高价格和最低价格，每个x i等于
这里：H t＝时间阶段t内的最高价格
L t＝时间阶段t内的最低价格
波动率是所有x i的标准差，乘上时间区间数值t的平方根进行年化。如果时间区间单位是天，就要乘上每年交易日数量（约253）的平方根；如果时间区间单位是周，就要乘上每年交易周数量（约52）的平方根。
3.隐含波动率的计算
当利用已知期权价格不能倒推布莱克–斯科尔斯模型得到隐含波动率时，我们可以利用Newton-Raphson快速拟合出隐含波动率。我们首先对期权隐含波动率做出猜测，然后用期权的Vega值（对波动率的敏感程度）逐步逼近真实的隐含波动率。这种方法如图B-4所示。
图B-4 利用Newton-Raphson法拟合确定隐含波动率
由于期权的Vega值是相对线性的，这种方法拟合速度非常快，即使最初猜测的偏差很大，通常迭代次数也不会超过4次。迭代过程为：
式中，p＝期权价格；
x i＝波动率；
y i＝波动率为x i时的期权理论价值；
v i＝波动率为x i时的期权Vega值。
我们选择一定的准确程度ε，并持续这一迭代过程，直到|y i－p|＜ε，对应的x i即为期望的隐含波动率。
B.4 幂指函数和自然对数函数
由于自然对数函数（natural logarithm functions，ln（x））和幂指函数（exponential functions，e x）在绝大多数理论定价模型中发挥重要作用，因此有必要对它们的用法做简要介绍。
假设：r＝年化利率，以小数形式表示
I＝投资数量
t＝投资的年化时间长度
当r为复利计算时，投资I的期末价值V为：
V＝e rt×I
当r为复利计算时，期末价值为V的初始投资I应为：
I＝e -rt×V
I被称为V的现值（present value），就是说V根据持有成本折现后的价值。
收益率y，即在投资期间连续复利r所产生的收益为：
y＝e rt－1
年化收益率为y/t。
举例：如果r＝10%（0.1），一笔2000美元的、为期3个月（t＝0.25）的、利率为复利计算的价值为：
V＝e rt×2000＝e 0.10×0.25×2000＝e 0.025×2000
＝1.0253×2000＝2050.63（美元）
举例：如果r＝6%（0.06）且复利计算，最终价值5000美元的、为期8个月（t＝0.667）的初始投资为：
I＝e -rt×5000＝e -0.06×0.667×5000＝e -0.04×5000
＝0.9608×5000＝4803.95（美元）
举例：如果r＝15%（0.15）且复利计算，为期6个月（t＝0.5）投资的收益率为：
y＝e rt－1＝e 0.15×0.5－1＝e 0.075－1＝0.0779（7.79%）
年化收益率为：
如果初始投资为I，一定时间阶段后投资额变为V的连续复利回报r t为：
如果V大于I，则回报率的结果大于零；如果V小于I，回报率的结果小于零。年化回报率为
举例：如果是连续复利，初始投资3000美元在9个月（t＝0.75）后变为3200美元的年化回报率应为：
注意，幂指函数和自然对数函数是可逆的：
ln（e x）＝e ln（x）＝x
由于波动率也是回报率的一种，且假设为连续复利，因此幂指函数和自然对数函数也可以用来计算标的合约的预期价格变动。
举例：如果某期货合约交易价格P为50，年化波动率V为12%。价格上涨的一倍标准差为：
e VP＝e 0.12×50＝1.1275×50＝56.37
价格下降的一倍标准差为：
e -VP＝e -0.12×50＝0.8869×50＝44.35
由于我们知道均值加减一倍标准差的范围内有68%的结果，如果12%波动率是正确的，那么今后1年内该期货合约价格在44.35到56.37范围内变动的概率为68%。
那么两倍标准差范围内的价格变动情况如何呢？如果价格上涨，可计算出：
e 0.12×2×50＝e 0.24×50＝1.2712×50＝63.56
如果价格下跌，可计算出：
e -0.12×2×50＝e -0.24×50＝0.7866×50＝39.33
由于我们知道均值加减两倍标准差的范围内有95%的结果，如果12%波动率是正确的，那么今后1年内该期货合约价格在39.33~63.56范围内变动的概率为95%。
如果时间阶段不是1年，则必须考虑到时间与波动率间的平方根关系。如果某段时间内的一倍标准差为v，那么两倍时长内的价格变动标准差为 同样地，时长一半的时间段内价格变动标准差为 通用的规则为：
这里v是年化波动率、t是年化时间。可以表达时间区间t内n倍标准差的价格变动为：
这里P为当前合约价格。
举例：如果某标的合约交易价格为84.00，年化波动率为16%，3个月期间（t＝0.25）1倍和2倍标准差价格变化为：
给定波动率和时间长度的前提下，总能够计算某结果对应的标准差数量。如果有标准差的概率表，就可以得到某结果出现的概率。
对于期权而言，交易者通常关心到期时特定执行价格下期权是实值的可能性。期权到期时标的合约价格（P）穿过执行价格（E）所需的价格变动标准差数量为：
举例：如果条件与上例相同（v＝0.16，P＝84.00），对于执行价格为95的看涨期权从现在开始3个月后变为实值所需的价格变动标准差数量为：
通过查找标准差概率表，得到约有6.2%的概率（可能性）或16次中有1次，价格会上涨1.5383倍标准差。
对于股票，由于波动率代表的是价格对远期价格的偏离，因此要稍稍做出调整。如果P为当前股票价格、t是时间长度、r是无风险利率、D是期间内的预期股利，股票远期价格P f为：
P f＝P×e rt－D
举例：如果利率为8%，无股利支付股票交易价格为38，年化波动率为27%，对于执行价格为35的看跌期权从现在开始6个月后变为实值所需的价格变动标准差数量为：
通过查找标准差概率表，得到约有26%的概率（可能性）或4次中有1次，价格会下跌0.64倍标准差。
[1] Black,Fischer and Scholes,Myro.The Pricing of Options and Corporate Liabilities [J].Journal of Political Economy,Vol.81,No.3,May/June 1973,pages 637-654.
[2] Black,Fischer,“The Pricing of Commodity Contracts”,Journal of Financial Economics,No.3,1976,pages 167-179.
[3] Garman,Mark B.and Kohlhagen,Steven W.,“Foreign Currency Option Values”,Journal of International Money and Finance,Vol.2,No.3,December 1983,pages 231-237.Grabbe,J.Orlin,“The Pricing of Call and Put Options on Foreign Exchange”,Journal of International Money and Finance,Vol.2,No.3,December 1983,pages 239-253.
[4] Wilcox,Darren,“Spread Options in Energy Markets”,Research Paper,Goldman,Sachs&Co.,March 1990.
[5] 此处原文为N（x）＝1-N（x），但据上下文，应为N（x）＝1-N（-x）。——译者注
[6] Cox,John C.;Ross,Stephen A.;and Rubenstein,Mark;“Option Pricing:A Simplified Approach”;Journal of Financial Economics;No.7,1979;pages 229-263.所需的电脑计算详见：Meisner,James E.and Labuszewski,John W.;“The Cox-Ross-Rubenstein Model for Alternative Underlying Instruments”;Advances in Futures and Options Research;Vol.2,1987;pages 263-278.
[7] Barone-Adesi,Giovanni and Whaley,Robert E.,“Efficient Analytic Approximation of American Option Values”,Journal of Finance,Vol.42,No.2,June 1987,pages 301-320.
[8] Parkinson,Micheal,“The Extreme Value Method for Estimating the Variance of the Rate of Return”,Journal of Business,Vol.53,No.1,1980,pages 61-65.