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18.3 期权存续期内波动率不变假设
当交易者向理论定价模型中输入波动率时，其实是交易者在告诉模型期权存续期内价格变动的程度。根据正态分布特征，模型利用波动率外推1倍、2倍、3倍或更多倍标准差外价格变化的数量。而且，模型假设各种价格变动均匀分布在期权存续期间内。2倍标准差的价格变动均匀分布在1倍标准差价格变动之间，3倍标准差价格变动均匀分布在1倍和2倍标准差价格变动之间，依此类推。
图18-2a和图18-2b都是某标的合约价格在期权存续期内每日价格变动的条形图。两个条形图考察期间内的波动率都是16.7%，但很明显两张图中价格波动发生的次序不同。图18-2a中所有较大价格变动都发生在期权存续期的前期，而图18-2b中所有较大价格变动都发生在期权存续期的后期，这些是现实世界中价格变化的真实情况，而不像理论定价模型假设的波动均匀分布。交易者常会遇到2倍标准差、3倍标准差价格变动密集发生的高波动率阶段，也会遇到只有1倍标准差价格变动密集发生的低波动率阶段。历史波动率图形从来都不是一条直线（作为一个很好的例证，读者可再看图14-2），但理论定价模型不能区分出两种不同的波动率情况。模型仅假设波动率为16.7%，且假设期权存续期内所有价格变动都是恒定且均匀分布的。
假如交易者买入了执行价格为105的跨式期权，并且假设波动率为16.7%，他通过买入或卖出标的合约来维持期权存续期内头寸的Delta中性。理论模型的结论是：由于假设波动率16.7%不变，交易者的盈亏在以上两种波动率情形（同图18-2a和图18-2b）下是相同的。但事实是否如此呢？
注意，标的资产市场价格在期权存续期开始和结束阶段都会穿过105，因此我们可以将此阶段的执行价格为105的看涨期权和看跌期权视为平值期权。由于平值期权Gamma值最大，在价差存续期的开始和结束阶段执行价格为105的跨式期权将是Gamma值较高的头寸。由于短期平值期权的Gamma值总是大于长期平值期权，因此期权存续期后期波动率上升（类似图18-2b中的情况）对头寸价值的影响要大于期权存续期前期波动率上升（类似图18-2a中的情况）对头寸价值的影响。
头寸Gamma值决定了调整过程的规模与频率。在类似图18-2b所示的价格变动情况下，执行价格为105的跨式期权的价值较大。期权存续期后期价格在执行价格上下的波动，将需要越来越大的调整，每次调整都有利于执行价格为105的跨式期权持有者。在图18-2a中价格变动的情况下，同样需要做出调整，但由于标的合约价格波动幅度小，所需的调整也相对较小。
图 18-2a
图 18-2b
通过经验绝大多数交易者认识到，波动率发生次序的确重要，特别是对Gamma值最大的平值期权的影响更大。与发生在距离期权到期还有很长时间的价格大幅波动相比，在临近到期时发生的同样价格大幅波动，会对平值期权产生更大的影响。因此，即使交易者知道期权存续期内的实际波动率，模型也会对市场价格波动率逐渐上升的平值期权给出较低估值，对市场价格波动率逐渐下降的平值期权给出较高估值。
我们只给出了波动率逐渐上升与逐渐下降两种情形，实际上波动率在期权存续期内有无穷多种变化情形。交易者可以假设波动率变化是随机的，并假设准确预测波动率是不可能的。基于随机波动率（stochastic volatility）假设的理论模型，在特定情况下可能比传统理论模型更适用。同时，这种模型也给交易者增加了另外一种复杂维度，正因如此其应用并不广泛。[1]
很多合约本身波动率特征会随时间而变化。特别是利率产品就属于这一类。当债券临近到期时，债券价格势必回落到票面价值（par）；到期时，无论利率是多少，债券总有一个固定的且已知的价值。很明显，我们不能认为债券的价格符合随机游走（random walk）假设。即使假设利率水平是随机游走的、利率的波动率水平是恒定的，但由于不同期限的利率投资工具对利率有不同的敏感程度，利率投资工具的波动率也会随到期时间变短而改变。如果我们考虑到不同期限下利率水平的不同，传统的布莱克–斯科尔斯模型等显然不能满足这类产品的估值需要，因此引发对利率投资工具的特殊估值模型的开发。 [2]
[1] 更详细的讨论，详见：Hull,John,White Alan.The Pricing of Options with Stochastic Volatilities[J].Journal of Finance,Vol.42,No.2,June 1987,281-300.Scott,Louis D.Option Pricing When Variance Changes Randomly:Theory,Estimation,and Application[J].Journal of Finance and Quantitative Analysis,No.22,December 1987,419-438.Wiggins,J.B.Option Values under Stochastic Volatility:Theory and Empirical Results[J].Journal of Financial Economics,No.19,December 1987,351-372.
[2] 比如说：Ho,Thomas,T.S.Y.,Lee,Sang-Bin.Term Structure Movements and the Pricing of Interest Rate Contingent Claims[J].Journal of Finance,Vol.41,No.5,December 1986,1011-1029.Heath,David;Jarrow,Robert;and Morton,Andrew.Bond Pricing and the Term Structure of Interest Rates:A New Methodology[J].Econometrica,Vol.60,1992,77-105.