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4.1 随机游走和正态分布
让我们暂时考察如图4-1所示的弹球迷宫游戏。当小球由于重力作用从顶部穿过很多钉子掉落进迷宫的过程中，小球每次碰到钉子都有50%的概率向右边滑落、有50%的概率向左边滑落。然后球会掉落至新的一层然后又遇到另一个钉子。最后，在迷宫底部，球掉进其中一个槽里。
图4-1 随机游走
小球穿过各层钉子落入迷宫的下落路径被称为随机游走（random walk）。一旦小球进入迷宫后，我们不能做任何事情来人为改变它的路径，我们也不能在一开始就预测出小球经过迷宫的路径。
如果有足够多的小球滑落进迷宫，我们将会得到小球的分布，如图4-2所示。大多数小球会集中在迷宫的中间区域，远离中间区域的小球数会越来越少。像这样小球滑落至迷宫而形成的分布被称作正态分布（normal），或者是钟形分布（bell shaped distribution）。
如果无数个小球滑落到迷宫内，那么最终分布就非常接近正态（或钟形）分布，就像图4-2中连接小球顶部的分布曲线（curve）那样。这样的分布曲线是对称的（如果我们把它从右向左翻转过来，看起来是一样的），它的峰值在中间，尾巴逐渐远离中央、向两边张开。
图4-2 正态分布
正态分布曲线被用来描述随机事件的可能结果。例如，图4-2中的分布曲线也可以表示抛掷15次硬币的结果。每个结果（或槽里）都可以表示每抛掷15次硬币头朝上的数量。在第0个槽里结果表示头朝上的次数为0，头朝下的次数为15次；在第15个槽里的结果表示15次头朝上，0次头朝下。当然，抛掷15次硬币，所有的结果都是头朝上或头朝下是令人吃惊的。假设硬币为完美对称，一些结果将更可能出现，例如8次头朝上7次头朝下或者9次头朝上6次头朝下。
假如我们稍微改变迷宫，把钉子每两行关闭一行，使得小球下落过程中遇到一个钉子后，再下降两层才能遇到另一个钉子。如果向迷宫中滑落足够多的小球后，就会得到如图4-3所示的分布形式。由于小球向左、向右滑落的次数减少，分布曲线最终形状与图4-2相比，峰值更高、尾部更窄。尽管形状改变了，由此使分布特征产生轻微的差异，但曲线仍然为正态分布曲线。
图4-3 低波动率分布
同样地，我们也可以把两个钉子中间的区域阻挡起来，使得小球每次需要向左、向右经过两个钉子才能滑落到新的一层。按照同样的原理，如果我们滑落了足够多的小球到迷宫里，就能得到一个如图4-4所示的分布曲线。该曲线仍然是正态分布曲线，但相对于图4-2和图4-3，其峰值较低、尾部伸展得更快。
假设现在将小球向左、右两边的滑动视为一个标的资产价格的上涨或下跌，把小球向下的运动当作时间的流逝。如果我们假设标的资产价格每天可上涨或下跌1美元，那么15天之后价格分布就像图4-2中分布曲线所示的那样；如果我们假设价格每两天变动1美元，15天后价格分布就像图4-3中分布曲线所展示的那样；如果我们假设价格每天变动2美元，价格分布就像图4-4中分布曲线所展示的那样。
图4-4 高波动率分布
当前标的合约价格是100美元、15天后到期，我们应该如何对1份执行价格为105美元的看涨期权进行定价？一种方法是假设标的合约价格遵循随机游走过程，并假设15天后的价格分布如图4-2、图4-3和图4-4中所示的分布曲线中的一种。在这3种场景中，执行价格为105美元的看涨期权的对应价格如图4-5所示。如果到期价格分布如图4-3所示的分布曲线，可以看到标的合约价格到达105美元的概率较小，因此，执行价格为105美元的看涨期权的价值就比较低；如果到期价格分布如图4-2所示的分布曲线，那么标的合约价格到达105美元的概率有所提高，执行价格为105美元的看涨期权的价值也会由此增加；最后，如果到期价格分布如图4-4所示的分布曲线，那么执行价格为105美元的看涨期权到期时为实值期权的概率很大，因而期权价值将会有较大幅度的增加。
如果我们只假设标的合约价格变动符合随机游走过程，并不对价格变化方向做出假设，那么图4-2、图4-3和图4-4分别表示中波动率、低波动率和高波动率的价格分布。在低波动率市场中，价格变动是非常有限的，期权合约只能收取较低的权利金；而在高波动率市场中，极端市场价格出现的机会显著增加，期权合约具有较高的权利金。
由于图4-5中不同价格分布曲线都是对称的，看起来似乎波动率增加并不会影响期权的价值。这是因为，波动率增大尽管增加了价格向上变动的概率，但也同时增加了价格向下变动的概率，两者会相互抵消。但实际上，期权头寸与标的资产头寸相比有很重要的区别。与标的合约不同，期权的潜在损失是有限的。无论市场价格下跌多少，1份看涨期权的价值最低为0。在我们的例子中，无论到期时市场价格是80美元还是104美元，执行价格为105美元的看涨期权都是没有价值的。然而，如果我们以100美元的价格买入标的合约，到期时其价格是80美元还是104美元会有很大的不同。对于标的合约而言，所有结果都是重要的；而对于期权合约而言，只有使期权变为实值状态的标的合约到期价格才是重要的。在图4-5中，我们只考虑执行价格右边的价格结果，其他的一切价格结果均无所谓。
图4-5 到期价格分布
这决定了标的合约定价和期权合约定价之间的重要区别。如果我们假设价格分布为正态分布曲线，那么标的合约的价值取决于分布曲线中峰值的位置，而期权的价值取决于曲线向左右两边展开的速度。