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4.2 均值和标准差
假设我们想在期权理论定价模型中使用正态分布曲线。要达到这个目的，我们需要一种方法来向模型描述分布的特征。既然模型是基于数理方法的，那么我们需要用数学的方法来描述正态分布曲线，这样我们就可以把数据输入模型。
幸运的是，正态分布曲线可以仅用两个变量来完全描述，它们是均值（mean）和标准差（standard deviation）。如果我们知道分布是正态分布，也知道这两个变量的取值，我们就知道了分布的所有特征。
从正态分布图形的角度，我们可以把均值理解为分布曲线峰值所在的位置，把标准差理解为曲线向左右两边展开的速度。如果分布曲线如图4-4所示那样迅速向两边展开，说明具有较高的标准差；如果分布曲线如图4-3那样缓慢向两边展开，说明具有较低的标准差。
均值是价格出现结果的平均数，因此是许多交易者熟悉的概念，而交易者可能对标准差并不是非常熟悉。事实上，成功交易期权并不需要知道这些变量是如何计算的（对于那些感兴趣的读者，可参考附录B中更详细的讨论）。对于一个期权交易者来说，更重要的是如何解释这些数字，尤其是均值和标准差在描述价格波动中的重要意义。
让我们回到图4-2，考虑底部0~15号槽。我们已阐述了这些数字可以代表每抛掷15次硬币中头朝上的次数。另外，它们也可以代表小球无数次穿过迷宫后向右滑落到不同槽中的次数。第一个槽取值为0说明所有到达那里的小球在遇到钉子的时候都朝左方掉落。最后一个槽取值为15说明所有到达那里的小球在遇到钉子的时候都朝右方掉落。
假设我们知道图4-2中的均值和标准差分别是7.50和3.00。这告诉我们该分布的哪些信息？（实际的均值和标准差分别是7.51和2.99，详细的计算过程详见附录B。此处为了表述简单我们近似为7.50和3.00。）均值告诉我们平均结果。如果我们把所有结果相加并除以发生的次数，结果就是7.50。从各个槽的角度来看，平均结果很可能落在7号槽和8号槽（当然这不是实际的概率。然而，我们在第3章中已论述到，平均结果不必是任意一次结果的实际概率）。
标准差不仅描述了分布曲线是以多快的速度展开；它还告诉了我们一些关于一个小球掉落在一个槽或者是几个槽中的概率信息。特别是，标准差告诉了我们一个小球掉落在距均值特定距离的槽内的概率。例如，我们可能想知道一个小球掉落在5号槽左边或10号槽右边的概率。通过考察该球必须远离均值多少个标准差，再确定这些标准差对应的概率，就可以回答这个问题。
不同倍数标准差所对应的概率值可以在大部分统计书中的数学表里找到。除此以外，这个概率也可以使用近似算法大致计算出来（参见附录B）。对于期权交易者来说，下列近似算法将会非常有用：
±1倍标准差大约覆盖了68.3%（约为2/3）的结果
±2倍标准差大约覆盖了95.4%（约为19/20）的结果
±3倍标准差大约覆盖了99.7%（约为369/370）的结果
注意到每个标准差前面都有正负号。这是由于正态分布曲线是对称的，向上和向下变动的概率是相等的。
现在让我们来回答小球落在5号槽左边的槽内或10号槽右边的槽内的概率。我们可以将7号槽和8号槽之间的位置指定为 号槽。如果标准差是3，多少号槽之间是处于平均值附近1倍标准差之内呢？均值两边1倍标准差 又一次，我们把 视为槽的中间位置。可以发现5号槽至10号槽落在均值附近1倍标准差的范围内。我们知道1倍标准差覆盖大约 的结果，因此我们可以认为在每3个滑落槽里的小球中，有2个小球将落在5号槽和10号槽之间。剩余的小球，3个小球中的1个将落在0~4号槽以及11~15号槽中。因此，我们最初问题（一个小球落在0~4号槽以及11~15号槽中的概率）的答案大约是 或约为33%。（确切的答案是100%－68.3%，即31.7%。）该结果如图4-6所示。
让我们进行另一个计算，这次我们可以考虑一个赌博问题。如果有人提供我们30∶1的赔率（odds）让我们扔球时不能让小球落入14号槽或者15号槽。这个赌博应该参与吗？标准差的一个特点是可加性。在我们的例子中，如果1倍标准差是3，2倍标准差是6。均值外2倍标准差的区间就是 我们可以从图4-6中发现14号槽和15号槽在2倍标准差以外。由于一个取值落入2倍标准差之内的概率是 那么取值落在2倍标准差以外的概率为 。因此，30∶1的赔率看起来非常不错。然而回忆一下，2倍标准差之外也包括了0号槽和1号槽。由于正态分布是对称的，一个小球落入14号槽或15号槽的概率是 的一半， 这样看来30∶1的赔率必然是一个糟糕的选择，因为赔率不够补偿参与赌博所冒的风险。
图 4-6
在第3章中，我们论述了在期权定价中，一个可行的方法是对标的合约无限可能的价格分配相应概率。然后，如果我们把所有可能的价格与对应的概率相乘，结果相加后就可以得到期权的理论价值。但问题在于处理无限数量并不是一件容易的事情，因此也就很难对标的合约无限价格结果及相应概率进行运算。幸运的是，正态分布的特征已经被非常深入地研究了，并且已经开发出了计算公式，可以非常方便地计算出正态分布曲线上任意一点的分布概率，也可以非常方便地计算任意分布区域所对应的概率值。如果我们假设标的资产的价格是正态分布的，我们就可以利用正态分布的相关公式计算期权的理论价值。这也是布莱克和斯科尔斯在他们模型里采用正态分布假设的一个原因。