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18.7 波动率倾斜
显然，应用传统理论定价模型存在问题：市场并不是无摩擦的、价格并不总是服从扩散过程假设的、波动率在期权存续期内是变动的、现实中标的合约价格并不是对数正态分布的。由于存在这些缺陷，交易者可能会怀疑理论定价模型的实用价值。事实上，绝大多数交易者都发现理论定价模型虽然不完美、不总是非常有效，但在期权市场上却是极为有用的工具，远比其他期权估值方法更为有效。
尽管如此，希望做出最好决策的交易者不能忽视与理论定价模型相关的问题。使用理论定价模型的交易者应找到能够降低模型缺陷所产生的定价错误的方法。交易者可以从寻找更好的理论定价模型入手。如果存在这样的理论模型，就值得尝试用新模型替代旧模型。但“更好”是个相对的概念，理论模型更好只意味着稍稍提高理论价值计算的精确程度。而如果新模型极端复杂且非常难用，或者需要输入交易者不能准确确定的新变量，那么新模型只是用新问题代替了老问题。考虑到绝大多数交易者并不是理论学者的现实，更现实的解决方法可能是对相对不复杂的模型做出调整，使其与市场现实情况更加接近。
尝试弥补理论定价模型缺陷的交易者可以假设市场上其他交易者与他一样都在使用同样的理论定价模型，并思考市场会对理论模型的缺陷做出怎样的调整。这与计算隐含波动率的方法类似。我们在计算隐含波动率时，假设市场参与者都使用同样的定价模型、期权价格已知、市场参与者对除波动率以外的其他模型输入变量均无异议。在这样前提假设下，我们可以确定标的合约的隐含波动率。现在，我们希望利用同样的方法，从市场整体的角度考虑理论定价模型的隐含缺陷有哪些。这是一个更难回答的问题。
图18-7显示的是1992年7月17日在伦敦国际金融期货期权交易所（London International Financial Futures and Options Exchange，LIFFE）上市交易的、基于德国国债期货的12月份期权合约的结算价与隐含波动率。由于LIFFE上市的期权采取期货型结算方式，理论计算中的有效利率水平为0。因此提前执行没有经济价值，交易者可以利用布莱克–斯科尔斯模型计算所有的隐含波动率。
图 18-7
无论以怎样的标准衡量，德国政府债券都是低波动率标的合约。即便如此，图18-7中的数字仍然显示出了交易者非常熟悉的期权市场的许多特征。注意，相同执行价格的看涨期权和看跌期权的隐含波动率总是相同的，如果不同，就表明存在套利机会。如果相对于看跌期权，看涨期权被高估，则交易者可以构建转换套利组合获利；如果相对于看涨期权，看跌期权被高估，则交易者可以构建反转套利组合获利。看涨期权和看跌期权的隐含波动率相同表明，从套利关系的角度而言市场是有效率的。
可惜的是，不同执行价格期权的隐含波动率并不是呈现线性相关的，这对于坚信布莱克–斯科尔斯模型百分之百完全正确的交易者而言是很大的问题。那些交易执行价格为89的看涨期权或看跌期权的交易者真的认为12月份期货合约的波动率为3.60、而交易执行价格为85的看涨期权或看跌期权的交易者真的认为12月份期货合约的波动率为3.82吗？
如果我们假设执行价格、到期时间、标的合约价格、利率水平都已知，根据布莱克–斯科尔斯模型计算的期权理论价值仅依赖于标的合约在期权存续期内的波动率。在这个期间波动率水平是唯一的。虽然我们不能预测期权存续期内的准确波动率值，但到期后我们可以回过头来确定这段期间的真实波动率值。12月份国债期货只能存在唯一的真实波动率。由于所有的12月份国债期权标的合约均相同，难以解释不同执行价格的期权合约具有不同的隐含波动率。布莱克–斯科尔斯模型的忠实信徒也许会对真实波动率水平做出预测，并据此卖出可能被高估的期权、买入那些可能被低估的期权。如果将市场视为一个大的交易对手、市场上每个人都认为布莱克–斯科尔斯模型有效，这种卖出定价过高期权、买入定价过低期权的行为最终会使每份期权的隐含波动率呈线性排列，但这几乎在所有市场上都没有出现过。
市场整体与每个交易者一样，都在现有可得信息条件下尽可能准确地对期权进行估值。不管交易者是否相信市场是有效的，他至少应承认市场是尽可能有效的。通过对几乎每个期权市场隐含波动率的考察后，我们有理由相信市场并不认为布莱克–斯科尔斯模型是百分之百有效的。可惜的是，确定这种部分无效的原因似乎是不可能的。模型部分无效可能是由于市场并不是无摩擦的，或者是价格并不符合扩散过程假设，或者是波动率在期权存续期内发生变化，或者是现实中标的合约价格并不是呈对数正态分布等。无论由于怎样的原因，市场相信特定时点上期权定价是有效的，即使该价格与模型计算结果不同。
对于使用理论定价模型的交易者而言，价格通常以隐含波动率的形式表示。如果希望继续使用理论定价模型，又希望模型的使用方法与市场整体使用模型的方法保持一致，交易者可以通过观察隐含波动率的分布来获得额外信息。他可以将不同执行价格对应的隐含波动率描点，并用曲线将散点连接起来，形成类似图18-8a中描述12月份国债期权隐含波动率的示意图。
图 18-8a
具有类似形状的图形通常被称为波动率倾斜（volatility skew）。曲线的最低点接近于标的合约价格（87.86），曲线的两个尾部随执行价格远离标的合约价格而逐渐提高。绝大多数交易者从这一形状得到的推论是市场整体认为，与布莱克–斯科尔斯模型相比现实世界中发生价格大幅波动的可能性更大。如果再看图18-5a、图18-5b和图18-5c，我们可以发现这种推论是合理的。这些图中的异常值表明，现实世界中发生价格大幅波动的频率要大于正态分布的预测。这些价格大幅波动可能性的存在使市场提高了深度实值期权和深度虚值期权的价格。
相对于相邻的期权合约价格而言，我们也可以发现一些期权明显被高估或被低估了。我们可能并不知道执行价格为88.50的看涨期权的确切价值，但与执行价格为88和80的看涨期权相比，该期权明显被低估了；同样地，即使我们不知道执行价格为87的看跌期权的确切价值，但与执行价格为86.5和87.5的看跌期权相比，该期权明显被高估了。在前一种情况下，交易者可以尝试卖出执行价格为88.50/89.00/89.50的蝶式期权；在后一种情况下，交易者可以尝试买入执行价格为86.50/87.00/87.50的蝶式期权。无论我们怎样看待波动率倾斜，从某个执行价格期权到下一个执行价格期权，隐含波动率都应该平滑变动。
使用布莱克–斯科尔斯模型的交易者可能认为波动率倾斜包含了可以纳入决策过程的有用信息。他可能认为期权通常要么高估要么低估，且波动率倾斜反映了期权的相对价值，因此他就可以确定某种方法将波动率倾斜纳入到他的期权估值方法中去。可惜的是，使用波动率倾斜可能存在问题，因为并不存在波动率倾斜的确切形状。而且，每位交易者使用波动率倾斜时都要服务其最终目标。做市商可能以某种方法使用波动率倾斜，而投机者或套保者则以另外一种方法使用波动率倾斜。此外，每位交易者都要确定波动率倾斜所反映出来的信息准确性，并不认同某种波动率倾斜的交易者会发现某些交易策略比其他交易策略更有效。
举例来说，某个在国债期权市场上活跃的交易者，希望确定一种将波动率倾斜纳入到理论定价模型中的简单方法。他希望他的理论计算结果与波动率倾斜保持一致，但他也对波动率有自己的看法。交易者可以怎样做？回到图18-7，我们可以发现国债期权市场上平值期权的隐含波动率约为3.58。假如交易者认为隐含波动率过低，更合理的隐含波动率水平应该提高0.25，即3.83。如果交易者认为波动率倾斜代表了期权的相对价值，他可以将整条波动率倾斜曲线向上平移0.25，并使用这条新的波动率倾斜曲线评估不同执行价格的期权。在这种做法下，既反映了交易者认为隐含波动率过低的观点，同时又考虑到了波动率倾斜对期权相对价值的反映。
同样地，在标的合约价格变化时，交易者也可以将波动率倾斜曲线向左平移或向右平移。如果几个星期后标的合约价格上涨2.00，交易者可以保持波动率倾斜曲线形状不变，将其整体向右平移2个点。同时，他可以将平值期权作为参考，提高或降低波动率倾斜曲线，以反映他对隐含波动率过高或过低的看法。利用调整后的波动率倾斜曲线，交易者可以对不同执行价格的期权进行估值，并据此确定交易策略。向上或向下、从一侧向另一侧平移波动率倾斜曲线的效果可见图18-8b。
图 18-8b
如果交易者认为市场条件变化后波动率倾斜曲线形状保持不变，交易者对曲线进行整体平移是合理的。但如果情况不是这样呢？不同执行价格期权的隐含波动率取决于市场对标的合约市场价格大幅波动可能性的判断。但所有价格波动都是相对的，与标的合约价格和到期时间相关。比如说，4点的价格变动对于价格为80（约5%的价格波动）的标的合约而言，要大于价格为100（约4%的价格波动）的标的合约；2周内4点的价格变动要大于2个月内4点的价格变动。
波动率倾斜随市场条件变化而变化的情况如图18-8c所示。到期时间越短，波动率倾斜曲线形状的改变越大。波动率倾斜曲线的位置也会随标的合约价格和隐含波动率的不同而变化。对于尝试将波动率倾斜曲线纳入到理论定价模型中的交易者而言，这是个问题。理论定价模型不但要根据当前市场条件对期权估值，还要在变化的市场环境下评估风险。如果交易者希望将波动率倾斜纳入到定价模型中，他需要知道波动率倾斜如何随市场条件变化而变化。
图 18-8c
我们注意到标的合约价格变动是相对于当前标的合约价格和到期时间的。如果要使用理论定价模型，我们需要明确模型如何描述标的合约的价格变动。明确了这一点，我们就能确定模型如何描述标的合约价格和不同执行价格间的关系。这有助于我们确定波动率倾斜的变化。
在布莱克–斯科尔斯模型中，标的合约价格变动是用对数衡量的， [1]且期权执行价格和当前标的合约价格间的关系通过执行价格除以标的合约价格的对数来表示。同时，标的合约价格变化受到期时间平方根的影响。因此，在布莱克–斯科尔斯模型中达到某一执行价格所需的标的合约价格相对变动表达为
[自然对数（执行价格/标的合约价格）]/平方根（时间）
这里，时间的单位为年。由于我们使用布莱克–斯科尔斯模型计算不同期权的隐含波动率，且由于布莱克–斯科尔斯模型按以上方法表达执行价格，也许可以按照相同方法表达波动率倾斜曲线图中的执行价格。结果如图18-8d所示。
图 18-8d
在新的x轴度量方法下，波动率倾斜曲线看上去形状类似。我们还要考虑到之所以波动率倾斜曲线位置不同，是因为其代表了不同的波动率水平。为了统一波动率计量单位，我们可以考虑将所有波动率表示为相对于某个理论上为平值期权的波动率的相对值。举例来说，回到图18-8a，从图中我们可以看到当标的合约价格为87.86时，执行价格为87.86的期权（理论上的平值期权）的隐含波动率约为3.57%。因此，我们可将每个执行价格下的波动率表示为各执行价格下波动率与3.57之差。利用这种方法，执行价格为91、隐含波动率为3.81（这一点上图形对应的执行价格为90）这一点被赋予的y轴取值为
3.81－3.57＝0.24
执行价格为86、隐含波动率为3.68这一点被赋予的y轴取值为
3.68－3.57＝0.11
这种方法在隐含波动率保持不变的情况下是令人满意的，但假如国债期权市场的隐含波动率翻番增至7.00%，此时每个执行价格下的期权合约的隐含波动率都要翻番。执行价格为90的期权合约的隐含波动率不再是3.81，而是7.62；执行价格为86的期权合约的隐含波动率不再是3.68，而是7.36。由于市场的隐含波动率会发生变化，我们需要一种将每个执行价格期权合约的隐含波动率变化与市场整体隐含波动率变化联系起来的方法。最简单的方法就是将每个执行价格期权合约的隐含波动率水平表达为平价期权合约隐含波动率的百分比。
举例来说，平价期权隐含波动率为3.57，执行价格为90的期权合约的隐含波动率为3.81，可以将其表示为
执行价格为86的期权合约的隐含波动率为3.68，可以将其表示为
利用平价期权隐含波动率百分比表达隐含波动率的方法、利用对数值/时间来表达执行价格的方法综合在一张图形中，得到的结果如图18-8e所示。
图 18-8e
在新x轴和y轴下，波动率倾斜曲线虽不完全相同，但非常类似。如果我们假设所有市场条件下波动率倾斜曲线形状都与图18-8e中相似，就可将波动率倾斜视为理论定价模型中的新增变量。除了传统的5个输入变量（到期时间、执行价格、标的资产价格、利率水平、波动率）外，我们现在有了第6个变量（见图18-9）。
图 18-9
如果我们要将波动率倾斜作为变量输入理论定价模型，需要将其改变成为模型能够识别的形式。这意味着我们要找到能够表达波动率倾斜的函数形式。虽然这看上去好像很难，但很多波动率倾斜都可以利用简单等式来表达。图18-10中的函数是一种函数形式，近似地描述了图18-8中波动率倾斜的形状。如果我们认为这个函数是波动率倾斜很好的近似，就可以利用其作为理论定价模型中的波动率倾斜变量。为了分析期权在不同标的资产价格、到期时间和波动率等假设下的头寸价值，我们仅需要将每个执行价格期权合约的波动率利用以下函数来表达
特定执行价格下期权波动率＝平值期权波动率×f（x）
这里，执行价格E通常与其标的资产价格U和剩余到期时间t同时出现
交易者不需要完全认同期权市场隐含的波动率倾斜曲线。如果交易者认为标的合约市场价格突然的大幅变动不会出现，他就可以将波动率倾斜曲线的两翼拉低；相反地，如果交易者认为标的合约市场价格很可能会出现大幅变动，他可以将波动率倾斜曲线的两翼拉高。这种调整如图18-10所示。
图 18-10
做市商也可以根据波动率倾斜曲线对买卖报价做出调整。如果做市商发现所持有头寸的正Gamma值很大，希望通过卖出期权降低头寸的风险，他可将波动率倾斜曲线稍稍向下平移，这会使做市商在所有期权上的买卖报价都降低；如果做市商发现自己持有大量虚值看涨期权或看跌期权的空头，他可以将波动率倾斜曲线两翼拉高，这种调整将使做市商在虚值期权上的买卖报价提高。
我们国债期权案例中的波动率倾斜曲线形状是最常见的，是一条近似对称的微笑曲线，但并非总是如此。波动率倾斜曲线可以是对称的也可以是不对称的，它可以反映不同执行价格对应的上涨或下跌的隐含波动率，这取决于市场整体对标的合约市场价格变动的可能性及后果的判断。此外，由于股票指数市场上通常难以捕捉到定价错误套利机会（详见第15章），相同执行价格的看涨期权和看跌期权并不一定对应相同的隐含波动率。正因如此，很多股票指数市场交易者分别计算看涨期权和看跌期权的波动率倾斜。
举例来说，图18-11a和图18-11b分别描述了不同到期期限的1993年3月份OEX看涨期权和看跌期权的隐含波动率。 [2]注意，无论是看涨期权还是看跌期权，波动率倾斜曲线在较低执行价格下隐含波动率都很高。尽管不能确切知道导致波动率倾斜曲线这种形状的原因（可能是由于市场认为股票价格下跌速度快于市场价格上涨速度（正如1987年10月那样），或者反映了股指期权市场主要用来对冲股票投资组合多头的现实），市场整体似乎对低执行价格的期权赋予更高估值。希望利用市场相对估值的交易者可以将这一波动率倾斜曲线考虑到他的理论定价模型中。
图18-11a 1993年3月份OEX看涨期权
如前所述，我们可以尝试将波动率倾斜统一表达为执行价格与标的指数价格的对数关系。与股价一样，股票指数价格可被假设为围绕指数远期价格（即当前指数价格加上持有成本减去股利）的对数正态分布。因此，应该利用远期价格而非指数价格来转换执行价格
图18-11b 1993年3月份OEX看跌期权
结果如图18-11c和图18-11d所示（OEX的远期价格标在括号中）。
图18-11c 1993年3月份OEX看涨期权
图18-11d 1993年3月份OEX看跌期权
尽管图18-11c和图18-11d中波动率倾斜曲线仍存在差异，但与图18-11a和图18-11b相比差异已经小很多。如果交易者希望分别确定对应看涨期权和看跌期权的描述波动率倾斜的函数，他可以使用以上图中的函数关系来分析各种市场条件下的期权头寸。
波动率倾斜（作为估值工具或作为风险管理工具）的重要性只是在最近几年才被交易者认识到。本书这部分的讨论并不是要解决交易者在分析和使用波动率倾斜过程中遇到的所有问题，而是作为介绍性内容让读者更加了解这个问题。根据所参与市场的特征及最终交易目标，每个越来越有经验的交易者都必须想清楚如何更好地处理波动率倾斜问题。
[1] 关于对数函数、时间与波动率的关系等内容的详细讨论请参考附录B。
[2] 由于存在提前执行的可能性，这里使用Cox-Ross-Rubenstein模型计算OEX的隐含波动率。