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3.4 一种简单的方法
如果将期望收益和理论价值的概念应用到期权定价中，会产生怎样的结果？我们需要从计算期权的期望收益开始。让我们举一个简单的例子来说明。
如果标的合约现在的价格是100美元，假设合约在未来某日到期，到期时合约可能会出现5种价格：80美元、90美元、100美元、110美元、120美元，并假设每种价格结果出现的概率都是20%。每种价格及其相应的概率如图3-1所示。
图 3-1
如果以今天的价格100美元买入一份标的合约，那么该头寸到期时的期望收益是多少呢？如果到期价格为80美元，我们将以20%的概率损失20美元；如果到期价格为90美元，我们将以20%的概率损失10美元；如果到期价格为100美元，我们将不赔不赚；如果到期价格为110美元，我们将以20%的概率赚取10美元；如果到期价格为120美元，我们将以20%的概率赚取20美元。可以写成以下计算式：
-（20%×20）－（20%×10）＋（20%×0）＋（20%×10）＋（20%×20）＝0
由于收益与损失相互抵消，多头头寸的期望收益为0。同样的推导也能得到以当前价格100美元持有的空头头寸的期望收益也为0。在这样的价格、概率假设下，长期来看无论我们持有多头头寸还是空头头寸，最终期望收益都为0。
现在假设我们持有1份执行价格为100美元的看涨期权多头，暂时忽略所需支付的权利金，在图3-1所示的价格和概率分布下，我们的期望收益是多少？如果标的合约到期价格是80美元、90美元或100美元，看涨期权到期后的价值为0。如果标的合约到期价格为110美元或120美元，看涨期权的价值分别为10美元或20美元。计算式为：
（20%×0）＋（20%×0）＋（20%×0）＋（20%×10）＋（20%×20）＝6（美元）
看涨期权价值不会低于零，因此上述看涨期权头寸的期望收益必为非负数，此例中即6美元。
如果我们利用这种原理开发期权理论定价模型，我们需要对到期时标的合约的可能价格及其发生概率做出假设。在每个到期价格下，计算出相应的期权价值，再将期权价值乘上相应的发生概率，并将所有结果相加，就得到期权的期望收益。
以上的简单例子中，我们只列举了5种可能出现的价格情况，而且5种价格出现的概率相同。为了开发更符合现实情况的模型，我们还需要做出怎样的调整？首先我们要清楚期权的结算方式。在美国，所有期权都是股票型结算方式，需要对期权交易进行全额支付。如果执行价格为100美元的看涨期权到期时期望收益是6美元，还需要减去持有成本才能得到期权现在的价值。如果年化利率是12%（每月1%）、期权在2个月后到期，6美元的期望收益需要减去约2%的持有成本（也即12美分），期权的理论价值就是5.88美元。
我们还需要考虑哪些其他因素？我们假设所有5种可能价格以等概率出现，这种假设符合现实情况吗？假如我们被告知只有两种价格最可能出现：110美元和250美元，在今天标的合约价格为100美元的情况下，最可能出现哪一种价格？基于经验，多数交易者都会认为与当前价格差别不大的价格比远离当前价格的极端价格出现的概率更大。因此，110美元比250美元出现的概率更高。基于这样的判断，我们对价格和概率的假设应该更倾向于与现时价格差别不大的情况。按此假设的分布如图3-2所示。
图 3-2
此时，执行价格为100美元的看涨期权的期望收益为：
（10%×0）＋（20%×0）＋（40%×0）＋（20%×10）＋（20%×20）＝4.00（美元）
如果期权是股票型结算、持有成本为2%，此时期权的理论价值为3.92美元。
注意到在图3-2中，所有的价格及其概率都是对称分布的。虽然新的概率分布改变了执行价格为100美元的看涨期权的预期收益，但持有标的合约现货的任何头寸的期望收益仍为零。任一标的合约价格上涨的假设，都对应相同价格、相同概率的标的合约价格下跌假设。我们也许应该认为持有标的合约现货头寸的期望收益不应该为零，也就是说标的合约价格变化在一个方向上的可能性要大于价格变化的另一方向。如果可能的价格及其概率分布如图3-3所示
图 3-3
在这样的分布下，1份标的合约多头头寸的期望收益为：
-（10%×20）－（20%×10）＋（30%×0）＋（25%×10）＋（15%×20）＝1.50（美元）
执行价格为100美元的看涨期权的期望收益为：
（10%×0）＋（20%×0）＋（30%×0）＋（25%×10）＋（15%×20）＝5.50（美元）
注意到此时标的合约现货期望收益为正，意味着可以通过持有标的合约多头获利。如果不考虑其他因素，这一观点是正确的。但如果假设标的资产是某只股票，需要进行股票型结算。如果以当前价格100美元买入股票并持有一段时间，这项投资就会出现持有成本。如果持有成本正好与期望收益1.50美元相同，投资最终盈亏平衡。股票多头头寸要获得盈利，股价上涨幅度至少需要超过持有期间的持有成本，此时股票投资期望收益为正。如果股票投资盈亏平衡，那么期望收益一定等于股票投资的持有成本。
有些股票还会发放股利。如果投资期间股票发放股利，就会改变投资的期望收益。买入股票的交易者要付出持有成本，但也会收到股利。在股票投资盈亏平衡的情况下，投资期间的期望收益就等于持有成本减去股利。假如股票投资期间内持有成本为3.50美元，期间预期将发放1.00美元股利，投资期末的期望收益就是2.50美元。今天买入股票的交易者会在股票持有期末产生3.50美元的利息支出，但股票持有期内收到的1美元股利 [1]会抵消掉部分负债，最终会得到2.50美元的期望收益。
在无套利（arbitrage-free）市场中，买入或卖出合约都不会获得盈利，包括期望收益在内的所有收入与支出均相互抵消。如果我们假设的市场环境是无套利市场，我们还必须假设远期价格（forward price，即合约持有到期时的平均价格），等于当前价格加上所有收入与支出相互抵消后的期望收益。如果当前价格为100美元的股票持有期间的持有成本为4美元，那么股票的远期价格就是104美元；如果股票持有期间发放1美元股利，远期价格就是103美元。以上两种情况下，收入与支出正好相互抵消。
远期价格的计算依赖于合约的特性和市场条件。如果合约是股票，需要考虑的因素包括股票价格、持有时间、利率、股利。如果合约是期货，情况会相对简单，由于期货合约是期货型结算，且不需要期初的现金流出，更不会产生股利，因此在无套利市场中期货合约的远期价格就等于期货合约的当前市场价格。交易者以100美元的价格买入期货合约，持有期末期货合约的盈亏平衡价格也是100美元。
回到前面讲到的简单定价模型，我们可以假设标的市场为无套利市场， [2]就是说通过买卖标的合约不会盈利。那么，期望收益就等于当前标的市场合约价格与其远期价格间的差异。如果是股票，期望收益就是持有成本减股利；如果是期货合约，期望收益就为零。
即使假设每一期末价格都对应各自发生概率的，即使假定标的资产市场为无套利市场，仍存在着一个很重要的问题，即在我们简单定价模型中只出现5种价格，而在现实世界中，可能会出现无穷多的可能价格。为使模型更接近现实世界，我们需要构建一条包括所有可能价格及其相应概率的概率分布曲线。这看上去是不可能完成的任务，但却是理论定价模型的基础。
总的来说，在开发定价模型时要经过以下步骤：
（1）列出到期时标的合约的可能价格；
（2）对每一价格结果赋予相应的概率；
（3）假设标的合约市场为无套利市场；
（4）利用步骤1、步骤2和步骤3中的价格及其概率，计算期权的期望收益；
（5）期权的期望收益中减去持有成本。
完成以上步骤，最终就能得到期权的理论价值。根据理论价值，我们就可以进行交易了。
1973年以前，期权估值需要求解复杂的数学公式，这些方法耗时、烦琐。使用这些公式的交易者很快发现，数学计算还没有完成，投资机会已经消失了。1973年，与CBOE的成立几乎同步，费希尔·布莱克（Fisher Black）和迈伦·斯科尔斯（Myron Scholes）开发出了第一个实用性非常强的期权理论定价模型——布莱克–斯科尔斯模型（Black-Scholes）。由于布莱克–斯科尔斯模型计算简单、输入变量有限且数据容易获得，被美国新成立的期权市场——CBOE的交易者认为是理想的期权定价工具。虽然后续一些模型弥补了布莱克–斯科尔斯模型中的缺陷，但布莱克–斯科尔斯模型仍是所有期权定价模型中使用最广泛的。
最初，布莱克–斯科尔斯模型是用来对无股利股票的欧式期权（不允许提前执行）进行估值的。引入后不久，布莱克和斯科尔斯意识到很多股票都是支付股利的，因此在原模型的基础上增加了股利因素。1976年，费希尔·布莱克对原模型做出微调，使其适用于标的资产为期货的期权。1983年，马克·加曼（Mark Garman）和史蒂文·科尔哈根（Steven Kohlhagen）对布莱克–斯科尔斯模型做出几次调整，使模型适用于标的资产为外汇的期权。 [3]期货版本和外汇版本的布莱克–斯科尔斯模型分别被称为布莱克模型和Garman-Kohlhagen模型。但最初计算股票期权的布莱克–斯科尔斯模型、适用于期货期权的布莱克模型、适用于外汇期权的Garman-Kohlhagen模型等计算原理都相同，所以它们都被简称为布莱克–斯科尔斯模型。各种版本的模型之间的主要区别在于标的合约远期价格的计算，期权交易者可根据标的资产类型进行选择。
现在期权市场主要交易的期权合约都是美式期权，也即是可以提前执行的期权。这使得假设期权不能提前执行的布莱克–斯科尔斯模型看上去似乎难以适合市场需要。然而，由于布莱克–斯科尔斯模型易于使用，很多交易者并不认为需要利用考虑提前执行的美式期权理论定价公式对美式期权做出更精确的计算，认为这种多余的努力是不值得的。在一些市场，特别是期货期权市场，提前执行的价值非常微小，以至于利用布莱克–斯科尔斯模型计算出来的期权价值与利用美式期权理论定价模型计算出来的结果几乎没有差异。
由于布莱克–斯科尔斯模型的广泛应用，且它对于其他期权定价模型的基础性意义，我们暂时只聚焦于布莱克–斯科尔斯模型及其衍生形式。后续的章节中，我们会专门考察提前执行的价值，我们也会在对布莱克–斯科尔斯模型基础假设条件存在质疑时，考虑其他替代的定价模型。
布莱克–斯科尔斯模型的推导过程同样遵循本章前述简单期权定价方法所经过的5个步骤。布莱克和斯科尔斯最初是对看涨期权进行定价，看跌期权可以用同样的方法进行估值。另外，在本书第11章中我们也将会阐述，在无套利市场中相同标的合约、执行价格、到期日的看涨期权和看跌期权的价值之间存在着一一对应的关系。这种关系使我们可以仅仅计算看涨期权价值就能得到对应的看跌期权的价值。
为利用布莱克–斯科尔斯模型计算期权的理论价值，我们至少要知道期权及其标的合约的5个变量数据（见图3-4）：
（1）期权的执行价格；
（2）剩余到期时间；
（3）标的合约当前市场价格；
（4）期权存续期间的无风险利率；
（5）标的合约价格的波动率。
图 3-4
最后一类波动率数据对于交易新手来讲相对陌生。我们会在下一章中详细讨论波动率输入变量，但读者从本书前面的讨论中可以推测出它与市场价格变动速度相关。
如果我们知道每个变量的取值，代入布莱克–斯科尔斯理论定价模型中就能得到期权的理论价值。
布莱克和斯科尔斯在其模型中引入无风险对冲（riskless hedge）的概念。对于每个期权头寸，理论上都对应一个相应的标的合约现货头寸。随着标的合约其市场价格的变动，期权头寸会产生与对应标的合约现货头寸一致的、同比例的收益和损失。为利用理论上定价错误的期权，需要建立与期权头寸对应的标的合约现货头寸进行套保。就是说，无论持有何种期权头寸，必须在标的合约市场上持有方向相反的标的合约现货头寸。为构建无风险对冲所需的标的合约数量比例被称为套保比率（hedge ratio）。
为什么需要无风险对冲头寸？在我们简单期权定价方法中，期权的理论价值取决于标的合约不同价格结果的概率。当标的合约价格变动后，每一种价格出现的概率也要随之发生变化。如果标的合约价格现在是100美元，假设上涨到120美元的概率为25%，那么当标的合约价格下降到80美元时，120美元的概率就需要下调至10%。通过一开始构建的无风险对冲头寸，并根据市场条件变化调整相应套保比率，就能将这种概率变化纳入到考虑范围之内。
从这个角度来说，期权头寸可以被视为对相应标的合约现货头寸的替代。看涨期权是对标的合约多头头寸的替代，看跌期权是对标的合约空头头寸的替代。持有期权合约更有利，还是持有标的合约现货更有利，取决于期权的理论价值和期权的市场价格。如果看涨期权能以低于（高于）理论价值的价格买入（卖出），长期来讲通过买入（卖出）看涨期权持有多头（空头）比买入（卖出）标的合约现货更有利；同样地，如果看跌期权能以低于（高于）理论价值的价格买入（卖出），长期来讲通过买入（卖出）看涨期权持有空头（多头）比卖出（买入）标的合约现货更有利。
由于利用理论定价模型得到期权理论价值依赖于模型的输入变量，我们有必要对每个变量逐一进行讨论。
[1] 交易者持有期间收到股利后，到期末股利收入也会产生利息，但这部分利息收入通常与其他因素相比影响非常微小，故而忽略不计。
[2] 虽然不需要假设标的市场是无套利市场，但我们会发现，在绝大多数理论定价模型中这是一个非常重要的假设。
[3] 这里所提到的期权是基于外汇实物的期权，而不是基于外汇期货合约的期权。后一种期权可用适用于期货期权的布莱克模型进行定价。