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12.2 股票期权
12.2.1 为股利而提前执行的看涨期权
像分析期货期权一样，我们也可以将股票看涨期权的价值组成部分进行分解。此时，新增的考虑因素是股利因素
看涨期权价值＝内在价值＋利率价值＋波动率价值－股利价值
由于内在价值、利率价值和波动率价值等都不会小于0，这些因素总是增加看涨期权的价值。其中任何一个价值增加，看涨期权价值随之增大。只有股利因素可能会降低期权的价值。当股利增加时，看涨期权的价值下降。如果标的股票不支付股利，或期权到期前预计不会发生股利支付，看涨期权价值就不会低于其平价（内在价值）。然而，如果股利的负向影响超过利率和波动率的正向影响，在期权为欧式期权的前提下，看涨期权价值可能会低于平价。
举例来说，假设某股票交易价格为100，明天该股票要除息并发放2点股利；还假设执行价格为90的看涨期权将在2个星期后到期。利用理论模型对期权进行估值后，发现期权理论价值为10、Delta值为100，这意味着该期权本质上与股票具有相同的特征。如果期权是美式期权，且我们希望维持Delta值水平，我们有3种可能的选择：
（1）持有期权；
（2）提前执行期权；
（3）卖出期权、买入股票。
以上3种选择中哪一个是最优选择？
假如我们继续持有期权，当然能维持Delta值水平。但如果股票发放了股利，明天会对头寸产生怎样的影响？如果股票正常开盘，它的开盘价应为98， [1]因为2点的股利应从其价格中减去。由于期权价值为平价，第二天期权价格已不是前一天平价的10，而应是今天平价的8。换句话说，如果我们继续持有期权头寸，就必然要损失2点。
在第2种选择下，通过提前执行期权我们是否能够获得较好收益呢？如果我们提前执行看涨期权，将放弃期权的10点价值差并以90的执行价格买入价格为100的股票。发放股利后股票市场价格将下跌2点。虽然会损失2点，但由于持有股票，我们将得到2点的股利收入。股票价格损失的2点正好与股利收入的2点相互抵消，我们最终不赔不赚。显然，提前执行期权比继续持有期权更有利，不是因为我们得到了额外的收益，而是因为我们避免了2点的损失。我们必须提前执行期权以保证盈亏平衡。
在第3种选择下，卖出期权、买入股票是否能得到较好收益呢？这种做法与提前执行期权的效果近似，两种情况下我们都是用股票代替期权。如果期权交易价格为平价（本例中是10），提前执行期权与卖出期权并买入股票的效果相同。两种情况下的现金流相同，并且在股票发放股利时我们将持有股票。但如果执行价格为90的看涨期权的交易价格不是10，而是其他价格，假如是 ，显然，这种价格不可能出现在可以随时提前执行的美式期权市场上。以 的价格买入执行价格为90的看涨期权，相当于以 的价格买入标的股票。如果标的股票交易价格为100，这意味着看涨期权交易价格低于平价。如果是这样的话，所有交易者都可以买入看涨期权、卖出标的股票，然后立即提前执行看涨期权，从而获得 点的无风险收益，也就是期权交易价格低于平价的数量。在期权可以提前执行的市场上，期权价格不应该低于平价。
如果执行价格为90的看涨期权交易价格高于平价，比如说是 又会怎样？现在如果我们卖出期权、买入股票后，由于持有股票，我们将获得股利。除此以外，还会得到 点的额外收益，这部分额外收益在提前执行看涨期权的情况下是不能得到的。因此，第3种选择（卖出看涨期权并买入标的股票）是最优选择。
交易者选择提前执行股票看涨期权的唯一原因就是获得股利。如果标的股票不发放股利，交易者也就没有理由提前执行看涨期权了；如果股票发放股利，交易者唯一需要考虑提前执行的时间就是标的股票除息日的前一天，存续期内的其他时间都不适合股票看涨期权的提前执行。
我们注意到在美式期权市场上期权合约交易价格不能低于平价，在欧式期权市场上这一结论是否同样成立呢？在上述例子中，执行价格为90的看涨期权的标的股票交易价格为100，在预期2点股利的条件下，股票除息后看涨期权价格会明显下降。如果期权在股票发放股利之前不能通过提前执行变成标的股票，期权显然会损失价值。如果期权合约的时间价值很低，发放股利所产生的损失会使期权价值低于平价。在我们的例子中，如果期权2个星期后到期、利率为8%、波动率为20%，执行价格为90的欧式看涨期权价值约为 低于平价 这是由于即使是深度实值看涨期权，也没有获得股利的权利，这与持有股票完全不同。
12.2.2 为利息而提前执行看跌期权
与分析股票看涨期权的方法相同，我们可以将股票看跌期权的价值分解成不同的组成部分
看跌期权价值＝内在价值－利率价值＋波动率价值＋股利价值
对于股票看跌期权的价值而言，唯一产生负向影响的就是利息因素。如果利息因素的负向影响超过波动率和股利的正向影响，股票看跌期权（如果是欧式期权的话）的价格就有可能会低于平价。考虑以下情境
股票价格＝100，到期时间＝8个星期，波动率＝20%，利率＝8.00%，股利＝0
在以上假设条件下，执行价格为110的看涨期权的价值约为0.70。利用看跌-看涨期权平价关系式，我们可以计算出执行价格为110的看跌期权的价值为
看跌期权价值＝看涨期权价值＋执行价格－股票价格－持有成本
执行价格110的持有成本为
因此，欧式看跌期权价值为
0.70＋110－100－1.35＝9.35
由于执行价格为110的看跌期权持有至到期仅价值9.35，而如果今天提前执行则价值10点。因此，看跌期权明显应该提前执行而非继续持有。通过提前执行看跌期权，我们能以110的价格卖出市价100的股票，并在到期前能够得到110点资金流入所产生的利息。
虽然股票看涨期权只适合在股票除息日前一日提前执行，股票看跌期权可以在期权存续期内任意时间提前执行，只要以执行价格卖出股票所获得的利息收入足够大。提前执行的确切时间很难确定，但如果股票发放股利，在除息日的后一日提前执行股票看跌期权是合适的。这是因为，看跌期权是股票空头头寸的替代，持有看跌期权的一个好处是避免股利支付。因此，交易者总是希望在除息日以及除息日之前持有看跌期权，除息日之后，只要利率因素满足条件，交易者就会提前执行股票看跌期权。
在美式期权（可以提前执行）市场上，没有看跌期权价格能低于平价。否则，市场上立即会出现套利机会：买入股票、买入看跌期权，然后立即执行看跌期权，所获收益正好等于看跌期权价格与平价之差。但在欧式期权（没有提前执行，期权只能持有到期）市场上这一结论并不成立。在我们的例子中，由看涨期权价值推导出的执行价格为110的看跌期权的理论价值为9.35（低于平价0.65），执行价格为110的欧式看跌期权市场价格可能介于 做市商愿意以 的价格卖出看跌期权，是因为他知道他可以利用卖出股票对冲，他有信心这么做是由于到期前不需要买回股票。卖出股票的现金流入在到期前产生的利息，将抵消以低于平价的价格卖出看跌期权所产生的损失。
12.2.3 提前执行的条件
交易者提前执行美式期权是有原因的。对于期货期权，如果期权是股票型结算方式，交易者希望通过提前执行获得期权内在价值的利息；对于股票看涨期权，交易者希望通过提前执行获得股票股利；对于股票看跌期权，交易者希望通过提前执行得到执行价格的利息。根据前述讨论，我们可以推断出交易者提前执行期权获得额外收益要满足的两个必要条件：
（1）期权必须以平价交易；
（2）期权的Delta值必须接近100。
如果期权市场价格高于平价，交易者通常可以卖出期权并持有标的合约市场头寸，从而获得更好收益。判断期权是否以平价交易，可以通过观察期权市场交易情况做出判断。绝大多数情况下，如果期权是深度实值期权，且买卖报价价差很大，从实用的角度而言，期权就是在平价水平上交易，可以作为提前执行期权的备选。
为什么Delta值要接近100？提前执行期权，其实我们是在调整标的合约头寸。因此，交易者希望确定期权和标的合约之间具有相同的特征。换句话说，我们希望确定期权没有其他保险价值，这样在提前执行期权时我们就不会舍弃这部分保险价值。
举例来说，假如执行价格为80的看涨期权的标的合约市场价格为100，如果希望持有多头头寸，我们既可以买入执行价格为80的看涨期权，也可以买入标的合约。如果我们认为到期前市场价格不会低于80，那么持有执行价格为80的看涨期权和持有标的合约并不存在差异；但如果我们认为市场价格有可能会低于80，这时我们就相对更偏好执行价格为80的看涨期权。如果市场价格真的低于80，持有看涨期权最大的损失不会超过权利金。相反的，如果持有标的合约，市场价格下跌到80美元以下时，潜在损失可能是无限的。
注意Delta值的一种解释是反映期权到期时是实值的可能性。Delta值为100，意味着标的合约市场价格不会下跌到期权执行价格以下，因此期权也几乎不会变为虚值期权。
Delta值为多大才能够保证提前执行是合理的呢？当Delta值为100时，交易者会毫不犹豫地选择提前执行期权。但如果Delta值是99、96或90呢？当Delta值高于95时，多数交易者至少会考虑提前执行，比如提前执行能够获得多少利息收入？能够获得多少股利？当Delta值低于95时，提前执行期权可能风险过大，这意味着至少有5%的可能标的合约市场价格将穿过执行价格。如果这种情况发生，无论通过提前执行获得的额外收益有多大，交易者都会后悔提前执行期权。
通过确认期权Delta值接近100，我们也就确认了不会舍弃期权的任何保险价值。当期权逐渐变为深度实值期权时，它的时间价值（保险价值）开始消失。当Delta值为100时，理论上期权已经不存在时间价值了。然而，当Delta值减小时，时间价值开始增加。如果Delta值远小于100，期权的时间价值就非常大。如果提前执行了这种期权，我们将同时舍弃了期权的时间价值。
由于期权提前执行取决于（至少部分取决于）期权的Delta值，确定准确的Delta值很重要，但有很多因素会影响到期权的Delta值，我们可能在任何一个因素上判断失误。如果我们认为正确的波动率是15%，期权的Delta值可能为98。但如果我们提高波动率的判断至17%，期权Delta值就会随之下降，在新条件下期权的Delta值可能只有93。在15%波动率条件下交易者可能会考虑提前执行，而在17%波动率条件下他可能不会考虑提前执行。正因如此，与波动率较高市场上的期权相比，低波动率市场上的期权更容易被提前执行。
同样地，如果还剩3个月到期的期权Delta值可能为92，交易者不会考虑对其提前执行。但如果两个月过去了，标的合约的价格变化不大，期权的Delta值就会提高，新Delta值可能是99。还剩3个月到期的期权不会被提前执行，但还剩1个月到期的期权则可能会被提前执行。
当然，我们首先应该自问为何要提前执行期权。在很多情况下，提前执行期权是为了获得期权剩余期限内的利息。我们在3个月里可能要比在1个月里获得的利息更多，从这个角度出发，剩余3个月到期期权肯定比剩余1个月到期期权提前执行的可能性更大。我们会发现很多因素会对提前执行的决策产生影响，而且这些因素的影响方向也是不同的，有的因素促使交易者提前执行，而另外一些因素则促使交易者不要提前执行。
到目前为止，我们只解决了交易者何时提前执行期权是有利的。与相同条款的欧式期权相比，由于美式期权包含额外权利价值应该更大。即使是现在没人会考虑提前执行的虚值期权，未来也有可能变为深度实值期权并被提前执行。这种可能性使美式期权比欧式期权更有价值。
与相同条款的欧式期权相比，交易者愿意为美式期权多支付多少价格呢？由于是欧式期权定价模型，布莱克–斯科尔斯模型没有尝试回答这个问题。尽管布莱克–斯科尔斯模型在对美式期权估值时不够准确，但由于没有更简便易用的模型，多年来交易者仍使用布莱克–斯科尔斯模型对美式期权进行估值。提前执行的价值则通过直觉来判断，或者对布莱克–斯科尔斯模型的计算结果稍做调整。举例来说，当股票预计将要发放股利，美式股票看涨期权的价值可通过比较两种情况下布莱克–斯科尔斯模型对看涨期权的估值结果近似得到：
（1）看涨期权在除息日之前到期；
（2）看涨期权在惯例日期（customary date）到期，但用于理论定价模型的股票价格为当前股票市场价格减去期望股利。
以上两种情况计算出的理论价值较大的，被称为伪美式（pseudo-American）看涨期权价值。
对于期货期权、股票看跌期权等而言，交易者便用布莱克–斯科尔斯模型计算出来的理论价值。如果计算出来的理论价值低于期权平价，交易者则使用平价价格。
更精确的美式期权估值模型被逐渐开发出来。最广泛使用的模型是Cox-Ross-Rubenstein模型（由约翰·考克斯（John Cox）、斯蒂芬·罗斯（Stephen Ross）、马克·鲁宾斯坦（Mark Rubenstein）开发）和Whaley模型（由Giovanni Barone-Adesi和罗伯特·惠利（Robert Whaley）开发）。与布莱克–斯科尔斯模型不同，这两种模型都不是闭合式的（closed form），不是将数据输入模型就能得到期权的正确估值。两个模型都是算法化的（algorithms）、循环计算的（loops）。交易者每多算一次，就越接近美式期权的真实价值。尽管Cox-Ross-Rubenstein模型在直觉上或数学上都很容易理解，但要经过多次计算才能得到可接受的期权价值估计。而Whaley模型在数学方法上相对复杂，但能很快收敛于可接受的期权价值估计。Cox-Ross-Rubenstein模型计算四五十次得到的结果的精确程度，Whaley模型只需要计算四五次就能实现。除了用于美式期权估值，两个模型还可以用来确定期权何时提前执行。本书上文论述中，在这一点上说得很模糊，提出期权Delta值接近于100就可以提前执行。如果利用美式期权估值模型的话，当期权理论价值正好等于平价且Delta值为100时，期权提前执行是最优的。
虽然绝大多数情况下Cox-Ross-Rubenstein模型和Whaley模型会得到近似相同的估值结果，但由于Whaley模型得到结果速度更快，Whaley模型被越来越多的计算机程序所使用。尽管Cox-Ross-Rubenstein模型计算速度慢，但由于具有Whaley模型所不具备的优势，也得到广泛应用。举例来说，Whaley模型将股票股利支付处理成期权存续期内连续支付的利息（continuous interest payment），但现实世界中股利只支付一次，Cox-Ross-Rubenstein模型就能比较准确地反映股利一次性支付对股票看涨期权的影响。除此以外，Cox-Ross-Rubenstein模型还可以用来对新出现的一些奇异期权（exotic options）进行估值。这些期权是路径依赖（path dependent）的，就是说期权价值不仅取决于到期时标的合约的价格分布，还取决于标的合约价格要经过怎样的路径实现到期时的价格分布。两种模型都将在附录B中做出进一步的讨论。
不论交易者选择哪种模型，模型计算结果的准确性既取决于输入模型变量数据的准确性，又取决于模型本身的理论准确性。如果交易者在对美式期权估值时，使用了不正确的波动率、利率、标的合约价格等变量输入时，美式期权理论模型与欧式期权理论模型计算结果的差异没有实际意义，因为两种模型的计算结果都是错的。美式期权理论模型计算结果的错误程度可能更小，但在据此交易产生大量损失时，这种稍高的精确度没有任何意义。
在期权持有成本和标的合约持有成本之间差异很大时，美式期权价值就非常重要。两种持有成本差异越大，提前执行的价值就越大。当标的合约是期货合约、期货期权又是期货型结算模式时，理论上两种头寸的持有成本都是0。这与假设有效利率水平为0的效果相同。如果假设利率为0，欧式期权和美式期权的价值没有差异。
当期货期权是股票型结算模式时，期权持有成本和标的合约持有成本之间差异不大。虽然期权合约是股票型结算模式，期权价格与标的合约价格相比很小，因此期权提前执行的额外价值（additional value）也很小，且只会出现在深度实值期权中。即便在这样的情况下，欧式期权理论模型与美式期权理论模型计算结果的差异通常仍小于最小报价单位。在这样的市场条件下，交易者不会因为其他交易者使用欧式期权理论模型、自己使用美式期权理论模型而获得巨大收益。交易者对波动率估计的准确性、对标的合约价格走向判断的准确性、对价差策略风险控制的能力等实务操作方面的影响因素，要远比通过使用美式期权理论模型而非欧式期权理论模型所获得的优势重要得多。
当标的合约是股票或实物商品 [2]时，提前执行最为重要。此时，期权持有成本与标的合约头寸持有成本存在显著差异。由于提前执行会使交易者得到以执行价格卖出所获收入的利息，这种差异在估算欧式看跌期权与美式看跌期权价值时更加明显。股票期权交易者或商品期权交易者会发现，实际上使用Cox-Ross-Rubenstein模型和Whaley模型等美式期权理论模型所提高的准确度非常有价值。差异的显著程度如图12-1所示。
图 12-1
[1] 在股票发放股利当天，价格通常已经体现了股利的变化（股价下跌）。因此，发放2点股利的、价格为100点的股票，第2天以98的价格开盘可被视为价格没有变化，因为股利发放的影响已体现为股价下跌2点，实际的股票供需并没有发生变化。
[2] 当本币（期权结算币种）的利率与外币（执行后交割币种）提前执行在外汇市场上也是重要的考虑因素。