Local EPUB Text
18.4 连续交易假设
为了开发出更加贴近现实的价格分布以供理论定价模型所用，理论学者必须首先确定标的合约价格随时间变化的情况，并不是所有合约的价格变动情况都是相同的。举例来说，价格变动可能是类似图18-3所示的扩散过程（diffusion process）。在扩散过程中，价格变动是连续和平滑的，连续价格之间不存在缺口（gap）。而且，价格考察的时间区间越长，价格的分散程度越大。典型扩散过程的例子是某地区的温度变化。即使温度变化非常快，温度变化之间也从不会存在缺口：如果某时刻温度为15°而另一时刻为18°，那么两个时刻之间温度变化必然经过16°和17°（尽管是非常快速地经过）。而且，6个星期内的温度变化程度肯定要大于6天内的温度变化程度。
图 18-3
价格变化也可能遵循跳跃过程（jump process）。在严格的跳跃过程中，合约价格在某段时间内保持不变，然后突然跳跃到一个新的价格，在新的价格上又停留一段时间。央行设定的利率水平是典型的跳跃过程。在美国，美联储公布新折现率之前原折现率保持不变，新折现率出现后也是维持不变，直到美联储更新的折现率。跳跃过程是固定价格与价格突然跳跃的组合。
绝大多数理论定价模型都假设标的合约交易价格变动符合扩散过程。交易被假设是连续的，每天进行24小时、每周进行7天等从不间断，标的合约价格间也不存在缺口。如果合约交易价格为46.05，接下来另一时刻的合约交易价格为46.08，那么在这两个时点之间的某时刻，必然存在价格为46.06、46.07的交易（尽管是非常快速地经过）。如果将价格变化扩散过程用图形描述出来的话，是一条连续的、从不间断的线。
显然，扩散过程是现实世界中价格变动的简化，但是不精确的近似。由于交易时间并不是每天连续24小时的，交易所交易合约不可能遵循纯粹的扩散过程，每个交易日结束时合约收盘价与第二天该合约的开盘价之间必然存在差异，而这种价格缺口在扩散过程中是不会出现的。即使是在正常的交易时间内，价格变动也不会完全符合扩散过程。如果市场中出现重大消息，价格肯定会发生突然变化，从而出现价格缺口。
如果理论定价模型假设价格变化为并不符合实际情况的扩散过程，这将会对模型计算结果产生怎样的影响？考虑以下情况：假如标的期货合约交易价格为100，交易者认为期权市场隐含波动率过高，所有期权合约定价过高，因此交易者决定卖出执行价格为100的跨式期权。可惜的是，交易者刚卖出跨式期权后，市场价格跳跃到105，这种价格缺口会对交易者头寸产生怎样的影响？
持有跨式期权空头的交易者并不希望出现市场价格缺口，缺口会使交易者产生损失，但损失究竟有多大？如果期权是相对长期的，比如说9个月期限，标的合约价格缺口并不会对交易者产生致命的影响，毕竟在剩余9个月到期的时间里，标的合约价格很可能会回落到100。因此，尽管价格缺口会影响到交易者，但不是灾难性的。 [1]而价格缺口对于剩余到期期限很短（比如1天）的期权而言，是毁灭性的。在只有1天到期的情况下，市场价格没有足够时间恢复到原来水平。交易者为了构建跨式期权空头而卖出的执行价格为100的看涨期权现在类似于期货合约空头。尽管开始时头寸是近似Delta中性的，价格大幅上涨后产生的价格缺口使交易者发现自己持有的是裸露的深度实值看涨期权空头，Delta值接近100。图18-4显示了9个月剩余到期时间区间内和1天剩余到期时间区间内价格的可能变动。
图 18-4
在价格缺口发生后，还有9个月到期的执行价格为100的跨式期权价值增加约7%（14.04/13.18＝1.07）；但还有1天到期的执行价格为100的跨式期权价值增加约495%（5.00/0.84＝5.95）。价格缺口对于还有9个月到期的头寸而言是令人痛苦的，但对于还有1天到期的头寸而言是毁灭性的。
之所以价格缺口对还有1天到期跨式期权价值产生巨大影响，是因为执行价格为100的跨式期权的Delta值对于标的合约价格变动非常敏感。剩余9个月到期的执行价格为100的看涨期权和看跌期权的Gamma值只有2.2，但还有1天到期的期权Gamma值为38.1。对于后一种期权如此大的负Gamma值而言，任何标的合约价格变动都对期权价值产生巨大影响。如果交易者在市场价格上涨时能够通过买入期货合约调整头寸，就能降低部分损失；但由于价格缺口是突然出现的，交易者根本就没有机会做出调整。因为头寸Gamma值较大，且交易者不能及时对头寸做出调整，所以价格缺口对于交易者而言是灾难性的。
在标的合约价格变化后，期权合约具有自动且连续改变Delta值对自身进行再套保的独特特征，这也是为什么期权买方愿意购买期权的原因。根据理论定价模型计算结果并打算利用市场定价错误而获利的交易者，对标的合约构建Delta中性对冲头寸，并在期权存续期内持续进行再套保过程，这是第5章中案例分析的基本原理。像绝大多数理论模型假设的那样价格服从扩散过程，模型假设交易者可以持续进行保持Delta中性的对冲。但如果市场出现价格缺口，模型的基本假设不成立，由模型计算出来的结果也就不准确。因此，通过对标的市场合约连续再套保从而复制期权特征的做法也就存在问题。在1987年10月19~20日，市场价格出现几个巨大的价格缺口，投资组合保险策略的支持者遭受巨大损失。由于价格缺口，投资组合保险者不能对所持有的头寸进行连续Delta值调整，结果发现由投资组合保险策略所产生的保护成本远远超出预期。
由于传统理论定价模型对于价格变动的假设是不现实的，也许做出更现实假设的理论模型能够计算出更加精确的结果。理论学者倾向于认同在绝大多数市场中，标的合约价格变动服从综合扩散过程和跳跃过程两种过程各自特征的某种分布。也就是说，在绝大多数时间内标的合约价格变化是连续且平滑的，没有价格缺口；但在特定时刻，市场价格会发生突然变动，出现价格缺口，并在新的价格水平上继续连续且平滑的变动，直到下一个价格缺口的发生。如果能够描述标的合约价格的这种跳跃–扩散过程（jump-diffusion process），并将其作为理论定价模型的基础假设，由此计算出来的理论价值必然更加精确。
事实上，由布莱克–斯科尔斯模型变形而来的、假设标的合约价格变动服从跳跃–扩散过程的理论模型已被开发出来。如果正确使用，这种跳跃–扩散模型[2]（jump-diffusion model）计算结果可能会比传统布莱克–斯科尔斯模型计算结果更加精确。可惜的是，与传统布莱克–斯科尔斯模型相比，此类模型在数学计算上变得相当复杂。而且，除了传统模型需要的5个常用变量输入外，这类跳跃–扩散模型还要求输入两个新变量值：标的市场价格跳跃的幅度（标的合约价格跳跃的平均规模）与频度（标的合约价格跳跃的频率）。除非模型使用者能够准确估计这两个变量值，否则跳跃–扩散模型的计算结果还不如，甚至更差于传统理论定价模型的计算结果。绝大多数交易者认为，传统理论定价模型的缺陷，可以通过基于实际交易经验而做出的明智决策所弥补，而不是通过使用更加复杂的跳跃–扩散模型来弥补。
由于市场价格缺口对Gamma值较大的期权影响最大，且临近到期的平值期权Gamma值最大，因此基于连续扩散过程假设的传统理论定价模型对于临近到期平值期权更容易产生定价错误。越临近到期，模型计算结果越值得怀疑。其结果是，在临近到期时交易者越来越少利用理论模型计算结果进行交易。期权交易所的交易池交易员（floor traders）通常都要随身携带理论模型计算结果表格，以便于利用计算结果进行做市。但当期权合约到期时间临近时，表格上的计算结果越来越不可靠，交易员开始不再使用这些计算结果。特别是还剩一两天到期时，绝大多数交易者仅依靠经验和直觉做出交易决策。尽管这种做法并不科学，但要好于根据明知错误的理论模型计算结果做出交易。
由于现实世界中存在价格缺口（价格跳跃），交易者的经验和实证结果都表明，基于价格扩散过程假设的传统理论定价模型会低估临近到期平值期权的价值。从控制风险的角度而言，由于标的市场任何价格缺口都会引起灾难性后果，这意味着临近到期时卖出大量平值期权是非常危险的。交易新手更要尽量避免持有这样的头寸。即使交易者经验再丰富，风险管理经理也不会赞同在临近到期时持有大量平值期权空头。
临近到期跨式期权
如果在临近到期时卖出平值期权是危险的，那么相反地，在临近到期时买入平值期权也许会获得盈利。但这种做法又似乎与传统期权交易理念相悖，传统期权交易理念主张交易者应该利用时间流逝所产生的时间价值而卖出平值期权。交易者常常要在风险与收益之间做出权衡。如果卖出平值期权，在市场价格不变（+Theta值很大）时能获得巨大收益；但当市场价格变化（-Gamma值很大）时会产生巨大风险。由于理论定价模型并没有考虑标的合约市场价格缺口的可能性，风险通常要大于收益。如果卖出平值期权，偶尔出现的价格缺口所产生的风险要远大于由于时间流逝所产生的收益。因此，经验丰富的交易者通常会选择与传统期权交易理念相悖的做法：在合适的市场条件下，买入临近到期的平值期权。
这并不是说每次临近到期时，交易者都要买入平值期权。就像任何交易策略一样，一定要在市场条件适合时才能进行这样的操作。由于很多交易者在期权临近到期时都选择卖出时间溢价（time premium），交易者通常能找到相对便宜的平值期权。举例来说，假如还有3天到期的平值看涨期权，根据布莱克–斯科尔斯模型计算出来的价值为0.50，但市场价格为0.45，这种情况下我们该如何交易该看涨期权？虽然该期权的确切价值我们难以确定，但由于总是存在价格缺口的可能性，可以肯定的是该期权的价值很可能会大于0.50。明显地，如果市场价格为0.45，而期权实际价值超过0.50，我们应该买入该期权。
像所有波动率交易策略一样，买入该看涨期权的交易者需要构建Delta中性头寸。根据合成关系，如果看涨期权被低估，同样执行价格下的看跌期权也会定价过低。合理的交易策略应该是买入平价跨式期权。这要求交易者同时买入被低估的看涨期权和被低估的看跌期权，一旦市场价格出现缺口交易者就能获利。
理论上，包括临近到期跨式期权的所有波动率交易策略都应该进行不定期调整以保持Delta中性。然而，如果剩余到期时间很短，理论模型不但难以计算出准确的理论价值，也难以确定准确的Delta值。在不能确定准确Delta值的情况下，交易者也就不能做出正确的调整。因此，构建临近到期跨式期权头寸的交易者通常不会做出调整，一直持有头寸至到期。理论上这种做法并不正确，但考虑到临近到期时理论估值的不确定性，这是较为现实的选择。
即便交易者认真选择临近到期跨式期权，绝大多数时间内都不会出现市场价格缺口。在任何单次交易中，交易者很可能会出现亏损。交易者需要记住的是，他首要考虑的并不是单次交易盈亏，而是长期交易结果。回顾第3章所举的轮盘赌例子，在轮盘上某一数字押注的玩家在38次赌博中只能赢1次。如果每次赌博的理论价值是95美分，而每次赌资小于95美分，长期来讲玩家就能获利。如果每次赌资很低，比如只有50美分，玩家在38次赌博中仍旧要输37次，但此时这种赌博就变得非常吸引人，因为即使玩家38次中只能赢1次，可这1次的获利要远远大于37次的微小损失。同样的逻辑也适用于临近到期跨式期权，交易者在获利之前要损失多次，但一旦获利，交易者的获利水平要远远超过以前多次损失的总和。
如果交易者知道输的次数要远大于赢的次数，那么交易者在临近到期跨式期权上的投资额度应是能够承受的。但一旦市场条件有利，交易者应敢于做出投资，即使连续损失几次，长期来讲他终究会遇到价格缺口或波动率大幅上升的情况，他的获利水平也会非常高，使临近到期跨式期权策略变得有利可图。
[1] 为了简便起见，我们这里假设价格出现缺口后市场隐含波动率没有发生变化。必须承认，事实并非如此。
[2] 关于跳跃–扩散模型的介绍可在更加高级的期权理论书籍中找到。更多详细内容可参考：Merton,Robert.Option Pricing when Underlying Stock Returns are Discontinuous[J].Journal of Financial Economics,Volume 3,March 1976,125-144.Beckers,Stan.A Note on Estimating the Parameters in the Jump-Diffusion Model of Stock Returns[J].Journal of Financial and Quantitative Analysis,March 1981,127-140.