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第5章 利用期权的理论价值
从理论研究者的角度而言，布莱克–斯科尔斯模型代表了一种对复杂问题的创新解决方法，布莱克–斯科尔斯模型只需要有限的变量输入和相对简单的数学计算，这些特征都使得布莱克–斯科尔斯模型成为期权定价方法中最受欢迎的模型。
尽管交易者也会欣赏数学模型的简约雅致，但他们更关心模型在市场中的现实表现。他真能利用期权市场价格与理论价值的差异而获利吗？
为检验布莱克–斯科尔斯模型如何发挥作用，让我们先做出两点假设：
（1）标的合约的价格分布符合对数正态分布；
（2）能提前预知标的合约价格的未来波动率。
由于我们不可能提前预知未来，第二点假设显然不符合实际。正如后续要阐述的那样，第一点假设也存在很大的问题。但让我们暂且忽略对模型前提假设的疑问，而将关注的重点放在交易者对模型的使用上。如果我们做出以上两点假设，并且布莱克–斯科尔斯模型的确能够有效定价，那么交易者应该能够利用期权合约市场价格和理论价值间的差异而获益。那么，如何利用定价偏差来获益呢？
如果基于某期货合约的系列期权合约相关条件数据如下：
6月份期货合约价格＝101.35
利率＝8.00%
6月份期货合约到期时间＝10周
还要假设期权合约交割时都是股票型交割的，也即需要立即支付全部权利金（美国期权市场现在所采用的正是这种模式）。
由于我们能够选择任意希望的执行价格，并且能够自由选择期权类型（看涨期权或看跌期权），为基于这一期货合约的期权合约进行准确定价唯一缺少的输入变量就是波动率。在可以预知标的期货合约未来波动率的前提假设下，让我们假想有一个水晶球能够告诉我们期货合约的未来波动率。当我们看向水晶球时，它能够显示未来10周标的期货合约的波动率为18.3%。现在，所有理论定价需要的变量输入都已齐备，只需要选择某一特定期权合约。
6月份执行价格为100的看涨期权接近于平值期权，交易活跃。让我们重点分析这份期权合约，将所有变量值输入至布莱克模型（布莱克–斯科尔斯模型的一种变形，适用于标的合约为期货合约的期权估值）中，发现6月份执行价格为100的看涨期权的理论价值为3.88。而该期权的市场价格只有3.25，我们是否能利用这种差异而获利呢？
很明显，我们首先应该买入期权，因为市场价格低估了0.63。可是，我们现在买入期权并保持头寸至交割就能保证获利吗？
我们在第3章提到，买入或卖出理论上定价错误的期权，需要在标的合约现货上建立方向相反的套保头寸。如果正确建立套保头寸的话，标的合约价格的微小变动，期权头寸价值的增加（减少）都能正好抵消标的合约现货反向头寸的价值减少（增加）。对于标的合约的价格变动，这一套保组合是无偏的（unbiased），或称“中性”的。
在当前市场条件下，确定建立中性套保头寸的标的合约数量是期权理论定价模型的副产品，被称为套保比率（hedge ratio），或更常见地被称为Delta值。我们将在下一章中详细讨论Delta值，但在本例中要用到Delta值的一些重要特性：
（1）看涨期权的Delta值介于0~1.00之间；
（2）随市场条件变化，期权的Delta值也将发生相应变化；
（3）标的合约的Delta值总是1.00。
我们还要遵守的惯例是，期权交易者在讨论Delta值时通常忽略小数点。也就是说，看涨期权的Delta值通常被表达为介于0~100的某个数字，标的合约的Delta值总被称为100。 [1]
回到我们的案例中，为了正确利用期权的理论价值，我们还需要知道Delta值，在本例中Delta值为57（即0.57）。这意味着为了建立无偏或中性的套保头寸，对于每买入的1份期权合约都需要卖出1份标的合约的57%。由于不可能卖出少于1份的期货合约，建立中性套保头寸我们可以买入100份6月份执行价格为100的看涨期权，同时卖出57份6月份期货合约，这使我们在保持合适套保比率的同时，还能保证合约数量为整数。现有的头寸为：
注意，套保头寸中每一边（即期权合约头寸与标的合约现货头寸）的Delta值头寸都是合约数量乘上合约Delta值，并记住买入合约均由正号表示、卖出合约均由负号表示。因此，期权合约头寸的Delta值为（+100）×57＝+5700、期货合约Delta值为（-57）×100＝-5700。如果将两个数字（即+5700和-5700）相加，总的Delta值为0，我们称这样的头寸为“Delta值中性”（Delta neutral）。在一个很小的区间内，Delta值中性头寸对标的合约市场价格的上涨与下跌并不敏感。如果总头寸Delta值为正，表明价格上涨有利于头寸（upward bias）；如果总头寸Delta值为负，表明价格下跌有利于头寸（downward bias）。
即使建立的套保头寸为Delta值中性，还必须承认理论价值主要是基于概率的事实。轮盘赌赌徒如果每次下注的赌资都小于每次赌博的理论价值，那么他只有在允许玩很多次时，才能获得盈利。在任意一场赌局中，他都非常有可能输，因为他赢的可能只有1，而他输的可能则有37。同样的道理也适用于我们的套保头寸，由于购买了价值被低估的期权，我们很可能获得盈利。但在短期内，套保头寸很可能会产生损失。有什么办法可以防止短期内的坏运气呢？
我们知道，在长期内概率法则会使我们获益。在相同的有利胜率下，如果我们有机会进行多次投资，我们相当确定最终会获利。投资的次数越多，就越有可能获得理论定价模型所预测到的收益。实现这一结果的一种做法是利用一系列较小投资组合实现初始的套保头寸。为了获得长期内的有利概率，我们可以通过定期评估、调整头寸，以便使每个阶段内的调整都是新的投资组合。
假如1周后，6月份期货合约的市场价格上涨到102.26。此时，将新的市场条件数据输入理论定价模型：
6月份期货合约价格＝102.26
利率＝8.00%
6月份期货合约到期时间＝9周
波动率＝18.3%
注意到这里的利率和波动率没有发生变化（我们所使用的布莱克–斯科尔斯模型假设在期权存续期内这两个输入变量都不发生变化）。根据新的市场数据输入，执行价格为100的看涨期权的新Delta值为62。现在的Delta值头寸为：
整个头寸的Delta值现在为+500。投资的一个阶段已经结束，另一个投资阶段即将开始。
无论何时开始新一轮投资都必须要回到Delta值中性。在这个例子中，就需要将头寸的Delta值降低500。正如后续要论述到的那样，可以有几种不同的方法实现这一目标。但为了使现有计算过程尽可能简单，且由于标的合约Delta值总是100，我们可以通过买卖标的期货合约买卖来完成Delta值调整。
我们可以通过卖出5份期货合约的方式卖出500个Delta值。现在的头寸情况是：
头寸再一次实现了Delta值中性，并即将开始下一轮投资。像以往一样，新投资阶段中，投资只取决于标的期货合约的波动率，而不是其价格变动方向。
卖出头寸中的5份期货合约在我们的头寸中是所谓的“调整”。尽管调整有可能会增加头寸的理论价值，但这种操作的初衷并不是为了增加头寸的理论价值，而只是为了使头寸保持中性。在我们的例子中，由于期货合约没有理论价值， [2]卖出5份期货合约对头寸的理论价值不产生任何影响，这种买卖仅用来使头寸保持中性。
至此，我们调整头寸的几个步骤已经诠释了利用期权理论价值获益所需的程序。
（1）买入（卖出）低估（高估）的期权合约；
（2）利用标的合约建立起Delta值中性头寸；
（3）定期调整套保头寸以保持Delta值中性。
波动率被假设为连续计算的，理论定价模型也假设调整是不断进行且非常及时的。但现实是交易者只能间歇性地交易，这种连续的调整在现实世界中是不存在的。通过定期做出调整，我们尽可能地遵从理论定价模型的原则。
如果持有套保头寸至到期，并使用以上所示的合理调整流程，头寸的最终调整过程会怎样？结果如图5-1所示。在我们的例子中，调整是每周进行一次的。每个阶段结束时，6月份执行价格为100的看涨期权Delta值都要按剩余到期时间、标的期货合约当前市场价格、8%的固定利率、18.3%的已知波动率等进行重新计算。注意，即使其他市场条件或许也会发生变化，但我们并没有改变波动率。波动率与利率一样，假设在期权存续期内保持不变。而在现实中，交易者可能会不断改变对波动率的判断。
图 5-1
10周后当期权合约到期时，我们该如何处置头寸？到时候，我们可以按照以下过程平仓：
（1）使所有虚值期权自动过期；
（2）以平值（或内在价值）卖掉所有实值期权；或同样效果的，执行实值期权，以此冲抵标的期货合约；
（3）以市场价格平掉所有期货合约。
以下逐步对这一过程进行梳理分析，看套保头寸操作的最终结果如何。
初始套保：6月份到期时（第10周），可以按2.54的市场价格卖掉6月份执行价格为100的看涨期权，也可以按102.54的价格卖出期货合约并执行看涨期权。两种方法都会使每份期权合约产生2.54的资金流入。由于期初为每份期权合约支付3.25，最终每份期权合约亏损0.71，期权合约头寸的亏损总额为100×（-0.71）＝-71.00。
作为初始套保头寸的一部分，我们还以101.35的价格卖出了57份6月份期货合约。到期时，我们必须以102.54的价格买回，每份期货合约亏损1.19。因此，期货合约部分的亏损为57×（-1.19）＝-67.83。加上期权头寸的损失，初始套保的总损失为-71.00－67.83＝-138.83。这项投资看上去似乎并不成功。我们原本预期在套保头寸中获得收益，结果却产生了很大的损失。
调整：初始套保头寸并非我们的唯一交易。为了保持头寸的Delta值中性，我们在10周的期权存续期内不断买入和卖出期货合约。在第1周末，由于头寸Delta值为+500，我们以102.26的价格卖出5份期货合约；第2周末，由于头寸Delta值为-1600，我们以99.07的价格买入16份期货合约；……如此操作直至第10周结束。到期时，我们持有额外的36份期货合约空头，为了平仓我们需要以102.54的收盘价买入36份期货合约。注意，每次期货合约价格上涨，投资组合的Delta值就变为正值，为保持Delta值中性就要卖出期货合约；每次期货合约价格下跌，投资组合的Delta值就变为负值，为保持Delta值中性就要买入期货合约。由于调整取决于头寸的Delta值，这样做的结果是间接实现了交易者最希望实现的结果：低买高卖。
保持Delta值中性的所有调整操作的结果如何？事实上，所有调整操作的结果是获利205.27（读者可以通过累计图5-1中所有调整交易的现金流进行验证）。调整所获得的收益远远超过初始套保头寸所产生的损失。
持有成本：还有什么因素会影响到我们最终的收益和损失？最初，我们买入看涨期权、卖出期货合约。虽然期货合约是期货型结算的，不需要初始现金流出；但期权合约按股票型结算，需要即时支付全额权利金。以每份3.25的价格买入执行价格为100的看涨期权，总现金流出为325.00。基于假设的8.00%利率，325.00在10周的持有成本为0.08× ×325.00＝4.99。在计算最终收益时，要记入这4.99的资金流出。
变动保证金成本：最后，还要考虑到维持期货头寸的变动成本。当期货合约市场价格上涨或下跌时，交易者的账户中就相应产生资金流入或资金流出。理论上来讲，交易者会因为资金流入而获得利息，因为资金流出而支付利息。比如说，初始套保头寸中以101.35的价格卖出57份期货合约，1周后期货合约价格上涨到102.26，账面上资金流出为57×（101.35-102.26）＝-51.87。以8.00%的利率水平维持这一账面资金流出9个星期所产生的费用为 我们在第1周末为维持头寸的Delta值中性，再次卖出5份期货合约，总共持有62份期货合约空头。第1周末（第2周初）期货合约市场价格下跌至99.07，由此产生账面资金流入为62×（102.26－99.07）＝+197.78。以利率8.00%计算的8周账面资金流入所产生的利息为 由期货合约变动保证金所产生的现金流在图5-1中的“变动保证金”列中列示；由此产生的利息在“变动保证金产生的利息”列中列示。全部的利息合计为+1.36。
现在，我们可以将头寸所产生的所有收益和损失加总在一起：
总收益为：-138.83＋205.27－4.99＋1.36＝+62.81。理论定价模型预测的收益是多少呢？每份执行价格为100的看涨期权的理论价值为3.88，但以3.25的价格买入，全部的理论价值为100×（3.88－3.25）＝100×0.63＝+63.00。换句话说，理论模型能非常有效地预测到套保头寸的实际收益。
在我们的例子中，收益和损失由四部分组成。其中两部分是盈利的（调整和变动保证金成本），两部分为非盈利的（初始套保头寸和期权持有成本）。情况一直如此吗？哪一部分是盈利的、哪一部分是非盈利的其实是不能提前预知的。交易者也可以比较容易地建立这样的头寸：初始套保头寸是盈利的，调整过程是非盈利的。这里要强调的一点是，如果交易者的变量输入是正确的，在某种头寸组合下，他就能够近似获得理论定价模型预测的收益或损失。
所有的模型输入变量中，只有波动率是唯一一个不能直接观察到的变量。上例中18.30%的波动率我们是如何得到的？显然，没有人能够准确知道未来波动率，但在上例中，作者根据图5-1中的10个价格变化，计算价格变化对数的年化标准差（波动率）。因此，18.30%是这一系列价格变化的正确波动率。完整的计算详见附录B。
上例中，我们假设市场是无摩擦的（frictionless），这意味着没有外部因素能够影响总收益和总损失。这一假设对于多数经济模型（包括布莱克–斯科尔斯模型）而言是基本假设。在无摩擦的市场环境中：
（1）交易者能够无限制地自由买卖标的合约；
（2）所有交易者能在同一个利率水平上借入、借出资金；
（3）交易成本为0；
（4）不用考虑税收因素。
交易者会立即意识到现实中的期权市场并不是无摩擦的，现实世界中以上假设不同程度地不满足。比如说，在一些期货合约市场中，日内价格变动是有限制的。当价格限制被触发后，市场就会被锁定，交易不能继续进行，直至市场价格恢复到价格上下限区间内。 [3]显然，在这样的市场中，标的合约并不总是能被自由买卖。
除此以外，个人投资者也不能像大型金融机构那样，在同样的利率水平上借入和借出资金。如果投资者借入资金，他要为借入的资金付出更多的成本；如果投资者借出资金，他不会得到与借入资金同样高的利率水平。通常在投资者的借入资金利率水平和借出资金利率水平之间存在差异，这种差异还可能是个很大的区间。正如第3章我们讨论的那样，幸好利率因素通常是理论定价模型输入变量中最不重要的一个。即使适用的利率水平随投资者不同，但通常来说，相对于其他输入变量对收益和损失的影响而言，利率因素只会导致收益和损失的微小变化。
另外，交易成本很可能是非常重要的考虑因素。如果交易成本很高，图5-1的套保头寸可能就并非切实可行的，所有的盈利很可能被中介费消耗掉。理论上，任何交易策略的可行性不仅取决于交易者的初始交易成本，还取决于之后的调整操作的交易成本。调整成本取决于交易者维持Delta值中性的渴望，如果交易者希望头寸一直维持Delta值中性，他就需要不断对头寸进行调整，从而产生更多的交易成本。
假如投资者建立套保头寸后，调整的频率并不是很高、但也不是从不调整，这会对结果产生怎样的效果？由于期权理论定价模型都是基于概率法则，建立理论上能够获利的套保头寸的投资者还是很有希望获得收益的。虽然他可能在初始套保头寸上发生损失，但如果按照理论模型重复调整，平均来讲，他最终会获得理论模型所预测的盈利。当然，得到这一结果的前提假设是基于理论模型所有输入变量都是正确的。通过促使交易者以同样胜率进行多次投资，调整过程有效平滑了投资的收益和损失。投资者不愿意做出调整，只不过他们没有意识到在任一套保获得盈利存在更大风险。调整本身并不改变预期收益，它们不过是降低了短期内出现“坏运气”的概率。
基于以上讨论，即使散户和专业交易者同样理解并使用期权理论定价模型的计算结果，在期权交易过程中也会倾向于采取稍稍不同的方式。专业交易者（特别是交易所会员）交易成本很低，相对于其套保头寸的理论期望收益而言，他们调整过程中产生的交易成本微不足道，因此专业交易者更倾向于频繁地调整头寸。相反地，建立同样套保头寸的散户由于任何头寸调整都降低了套保头寸的盈利水平，他们更少甚至从不调整头寸。但如果散户明白了概率法则的道理，他们会意识到他们的头寸与专业交易者的头寸具有一样的获利能力；同时，他们还应意识到他们的头寸对于短期“坏运气”更加敏感。即使散户可能偶尔会经历比专业交易者更大的损失，但同时他们也可能获得更大的盈利。长期来看，两类交易者将获得相近的收益。 [4]
税收也可能是影响期权交易策略评估的因素。当头寸建立或平仓时，头寸之间的重叠、不同投资工具（期权、股票、期货、商品等）之间的关系都会对税收产生影响。税收通常会对多样化投资组合的估值产生较大影响，正因如此投资组合管理者必须重视投资策略的税收因素。由于每个投资者的税收考虑都不同，而本书只是对期权估值和交易策略做一般性讨论，因此本书假设每个投资者都希望最大化税前理论盈利，之后才会考虑税收的问题。
回到图5-1所示的案例中，注意到初始套保头寸建立后在期权市场上就没有进行后续操作。交易者只关心标的合约市场的波动率（或价格波动程度），这一指标决定了交易者调整操作的规模和频率。在最后的分析中，是调整过程中的收益决定了整个套保头寸的盈利。我们可以将套保头寸视为6月份执行价格为100的看涨期权的时间价值损失和头寸调整过程中所产生的现金流之间的竞赛，理论定价模型就是这场竞赛的裁判。模型表明，如果期权合约以低于理论价值的价格买入，头寸调整就会赢得竞赛；如果期权合约以高于理论价值的价格买入，则期权合约时间价值的损失就会赢得竞赛。竞赛的条件取决于理论定价模型的输入变量。
在本例中我们假设期货合约波动率已知为18.3%。我们也许会问，如果波动率不是18.3%结果会怎样？比如假设波动率高于18.3%，更高的波动率意味着价格波动越大，也就意味着调整操作的频率、幅度更高。在我们的例子中，更多的调整会产生更多的盈利。这与波动率增加时期权价值随之增加的规律相符。
如果情况恰好相反，即波动率小于18.3%，结果又会怎样？较小的波动率意味着价格波动更小，导致调整幅度、频率更低，使头寸组合盈利水平降低。如果波动率足够低，头寸调整所产生的盈利刚好能抵消其他因素所产生的损失，则整个头寸组合的盈利为0。盈亏平衡的波动率与交易价格所对应的期权隐含波动率相等。利用布莱克模型，我们发现交易价格为3.25的6月份执行价格为100的看涨期权的隐含波动率为14.6%。在此波动率下，头寸调整的盈利与期权时间价值的损失恰好相等。波动率高于14.6%的条件下，套保头寸（包括调整过程）会获利；波动率低于14.6%的条件下，套保头寸会产生损失。
由于为了获得盈利需要进行头寸调整，这似乎意味着每个盈利的套保头寸都需要持有至到期，而实际上并不需要这样做。比如，假设建立初始套保头寸后，期权市场的隐含波动率立即开始上升。隐含波动率从买入6月份执行价格为100的看涨期权时的14.6%上升到期权存续期内未来波动率的18.3%，6月份执行价格为100的看涨期权的价格会怎样变化？它的价格会从3.25（对应的隐含波动率为14.6%）上升到3.88（对应的隐含波动率为18.3%）。我们可以立即卖出看涨期权，并获得每份期权合约0.63的盈利。当然，要将头寸平仓还要买回期初卖出的57份6月份期货合约。隐含波动率变化对期货合约的价格会产生怎样的影响？隐含波动率是与期权合约相关的概念，与标的合约市场无关。因此，即使隐含波动率发生变化，标的合约仍然在初始101.35的价格上进行交易。以101.35的价格买回57份期货合约，整个套保头寸能够立即获得63.00的盈利，这与期权理论定价模型预测的结果一致。如果能实现以上策略，就没有必要在10个星期内一直持有头寸。
隐含波动率从14.6%立即提高到18.3%有多大的可能性？虽然隐含波动率有可能剧烈波动，但这只是例外而非正常情况。隐含波动率的变化通常是在一段时间内逐渐发生的，而且是与标的合约波动率的逐渐变化同步的。由于标的合约波动率的变化，期权的需求或者增加或者减小，期权需求的变化体现为隐含波动率的增减。在我们的例子中，如果市场参与者意识到标的期货合约价格的波动率高于14.6%，可以预期的结果是期权隐含波动率也会随之上升。如果隐含波动率上升至目标值18.3%，我们就可以卖出看涨期权、买回期货合约，从而实现预期收益63.00，而不需要持有头寸满10个星期。然而，期权价格取决于多种市场因素，很多因素并没有纳入到理论模型中。如果不能保证隐含波动率会增长到18.3%，在此情况下就需要持有头寸满10个星期，并需要持续不断地进行头寸调整以获得预期盈利。
每个交易者都希望隐含波动率能迅速调整至其预测的水平。这样不但能使其更快实现盈利，还能消除在更长时间区间内持有头寸的风险。头寸持有的时间越长，理论模型的变量输入发生错误的可能性就越大。
即使标的合约波动率向有利方向变动，隐含波动率也可能并没有朝预测的方向变化，还可能向相反的方向变化。假设建立初始套保头寸后，隐含波动率立即从14.6%下降到13.5%，6月份执行价格为100的看涨期权的价格从3.25下降到3.06。现在，我们的账面损失为100×（-0.19）＝-19.00。这是否意味着我们做了一笔赔钱的交易且需要将头寸平仓呢？并不一定。如果18.3%的波动率预测被证明是正确的，期权到期时仍价值3.88。如果我们持有头寸并不断进行调整，最终能够实现预期盈利63.00。意识到这一点，我们应该像初始预期的那样维持头寸。即使隐含波动率的不利变化令人不快，但这是所有交易者都必须学会应付的情况。就像投机者很少能够在市场的真正底部或真正顶部建仓持有多头或空头一样，期权交易者也很难对隐含波动率“抄底”或“摸顶”。交易者需要在市场条件有利时建立头寸，但同时应意识到市场条件可能会变得不利。如果不利条件发生了，交易者的初始交易会产生暂时的损失。这也是交易者要学会接受的交易的真实一面。
让我们看一个相对复杂些的套保头寸，这里出现的是定价错误的股票期权。假设当前的市场条件如下：
注意现在有一个新的输入变量——预期股利。当然，我们还需要注意期权存续期内的波动率。“水晶球”再一次告诉我们，以后10周的波动率为21.4%。我们仍决定投资于接近平值期权的看涨期权，具体而言是3月份执行价格为50的看涨期权。将所有已知变量数据输入布莱克–斯科尔斯模型，最终发现3月份执行价格为50的看涨期权的理论价值为2.17，Delta值为46。
确定了看涨期权的理论价值后，需要与实际市场价格对比以发现是否存在投资机会。在本例中，发现这一看涨期权的市场交易价格为3（对应的隐含波动率为42.2%）。由于期权被高估，投资策略应为卖出看涨期权、并利用标的合约建立Delta值中性的套保头寸。比如说，我们可以卖出100份3月份执行价格为50的看涨期权，同时买入46份股票合约。如果美国股票期权交易所交易的期权合约对应的标的合约为100股股票，则需要买入4600股股票。
就像所有利用期权理论定价错误而构建的套保头寸一样，在期权存续期内需要保持组合头寸的Delta值中性。与前述案例的做法一样，本例中也将每周进行头寸调整，不同的只是现在的标的为股票。图5-2显示了套保头寸的调整过程。让我们通过对头寸调整过程的逐步分析，看最终的投资结果如何。
图 5-2
初始套保头寸：到期时，股票价格为 执行价格为50的看涨期权的价值为 美元。因此，在期权头寸上获得的盈利为300－237.50＝62.50美元。4600股股票在 的价格买入，在 的价格上卖出，每股盈利为 （3.875美元）。套保头寸的全部盈利为+（100×62.50）＋（4600×3.875）＝+24075美元。
调整：头寸调整过程需要我们不断买入或卖出股票保持头寸的Delta值中性。第1周，我们以 的价格买入600股股票；第2周，我们以 的价格买入1400股股票；第3周，以 的价格卖出200股股票……依此类推，第10周，我们以 的价格卖出剩余的900股股票。所有头寸调整过程的结果是损失13425美元（同样地，读者可以将图5-2中的“现金流”列中的数字加总进行验证）。
初始头寸的持有成本：我们一开始以300美元的价格卖出100份期权，以48.50美元的价格买入4600股股票，由此导致的资金流出为（100×300）－（4600×48.50）＝193100美元，以8%的年化利率计算，这部分资金流出在8周内的持有成本为：193100×0.08×70/365＝2962.63美元。注意，这里与标的合约为期货的例子中的差异，在那个例子中只有期权合约产生持有成本。而与期货交易不同，股票的买入或卖出会产生即时现金流，这部分现金流将产生初始套保头寸的部分持有成本。
调整的利息：无论何时通过买卖股票进行头寸调整，交易都会产生资金流入或资金流出。资金流入时会得到利息收入，资金流出时要以8.00%的利率支付利息。比如，第1周以 的价格买入600股股票，总现金流出为29775美元，保持这部分现金流出至到期（9周后）的利息支出为 美元。本例中头寸调整过程的总利息成本是所有单个利息支出的累计，或为-814.34美元。
股利：我们还假设在到期前30天时（在第5周和第6周之间），每股股票将发放股利50美分。对于我们的头寸而言，股利发放是收益还是损失？一开始我们买入了4600股股票；第5周末，头寸调整过程中卖出了1800股股票。这意味着，在除息日那天，我们持有2800股股票多头。如果每股股利是50美分，我们将收到股利收入1400美元。
股利利息：到期前的剩余30天内，我们的1400美元股利收入还将获得利率水平为8.00%的利息收入。这部分收入为：1400× ×8%＝9.21美元。
总结以上结果，得到
套保头寸的总收益为+24075－13425－2962.63－814.34＋1400＋9.21＝8282.24美元，而理论模型预期的获利为100×（300－217）＝100×83＝+8300美元。
与上例一样，盈利取决于我们预先知道期权存续期间内标的合约的波动率。“已知”的波动率32.4%代表了图5-2中10次股票价格变动的实际波动率。
虽然我们自始至终假设市场是无摩擦的，注意到在期货期权的例子中，这一假设不一定成立，因为在期货合约市场中，市场价格通常有涨跌幅限制，在涨跌停价格上期货合约并不能实现完全自由的买卖。在股票期权市场交易中存在相同类型的限制。在我们的例子中，我们买入股票、卖出看涨期权建立初始头寸。然而，如果看涨期权价值被低估，我们可能会选择买入看涨期权、卖出股票，此时我们可能并不真正持有股票。卖出借入的而非自己拥有的股票的做法被称为卖空（short sale），卖空在很多市场中是不允许的。禁止卖空使很多期权头寸的对冲难以真正实现。正如下文要讨论到的，如果选择卖出看跌期权，必须要利用卖空股票来实现对冲。如果不能卖空股票对冲看跌期权的空头头寸，即使市场价格远高于理论价值，我们可能就不会选择包含卖出看跌期权的交易策略。事实上，在禁止卖空的市场中，相对于看涨期权，看跌期权的交易价格明显偏高。
在美国市场上，股票卖空并没有被完全禁止，但受报升规则（up-tick rule）限制。报升规则明确股票卖空的价格不能低于前一交易发生时的交易价格（报跌，down-tick）；卖空价格只允许高于前一交易发生时的交易价格（报升，up-tick）；卖空价格可以与前一交易价格相同，前提是前一交易价格是基于报升规则生成的（也是报升）。报升规则是在1929年股灾发生后制定的，目的在于通过禁止以连续较低价格卖出并不持有的股票来防止同样的股灾发生。下面就是一只股票的10次报价（正号为报升、负号为报跌）形成的连续交易价格（从左至右）：
卖空不但由于报升规则限制可能不能真正实现，很多中介机构在为其客户卖空股票时，还不支付卖空收益的全部利息，这进一步扭曲了理论定价模型中的利息收入部分。
最后，在我们的例子中，是什么让我们获得接近于理论定价模型的预测收益？解释这一结果的简单方法是意识到，依据模型本身，期权的现金流可以通过头寸的调整过程实现。如果知道期权合约的条件、标的合约的特征，我们就能通过标的合约的头寸调整过程复制期权头寸的现金流。在我们的例子中，由于我们知道在期权存续期间内的重要市场条件（主要是知道波动率），就可以连续计算Delta值，并持有适量的反向标的合约套保头寸来复制期权。根据理论定价模型，到期时动态套保（dynamic hedge）产生的总现金流量与期权的价值恰好相同。在本章案例中，或者买入低估的期权（期货期权案例），或者卖出高估期权（股票期权案例）。由于头寸调整过程中产生的现金流正好复制了期权的理论价值，最终我们就得到了期权市场价格与理论价值差异部分的盈利。
这种期权复制策略（option replication）（即利用标的合约进行连续套保所产生的现金流）是很多利用期权特征但又不实际交易期权合约的交易策略的基础。我们将在第13章中详细讨论这些策略中最有名——投资组合保险（portfolio insurance）交易策略。
[1] 这一惯例源于美国股票期权市场，该市场中1份标的合约通常对应100股股票。通常1个Delta值对应1股股票。
[2] 尽管期货交易者会讨论期货的理论价值，但在期权交易者眼里，标的合约并没有理论价值。理论价值是交易者认为能够进行交易的价格。
[3] 有时，可以通过买入或卖出实物商品而非期货合约，或在某个月份期货合约未被锁定时交易不同月份期货合约的价差等方法来规避市场锁定问题。
[4] 当然，这里的讨论忽略了专业交易者通常能够享有的实际优势，比如可以按市场上的买入价格买入、按卖出价格卖出。通常散户难以获得源于这些优势的盈利。