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6.2 GAMMA
在讨论Delta时，我们注意到，在某些情况下，当期权为深度虚值期权时，Delta值接近于0；其他情况下，当期权为深度实值期权时，Delta值接近于100（看跌期权为-100）。逻辑上讲，我们可以得到如果标的资产价格变化期权Delta值也应随之变化的结论。当标的资产价格上升时，看涨期权Delta值趋近于100，看跌期权Delta值趋近于0；当标的资产价格下降时，看涨期权Delta值趋近于0，看跌期权Delta值趋近于100。这一变化关系如图6-6与图6-7所示。
图6-6 看涨期权Delta值与标的合约价格
图6-7 看跌期权Delta值与标的合约价格
Gamma （有时被称为期权的曲率（curvature））是标的合约价格变化时期权Delta值的变化率。Gamma通常被描述为：当标的合约价格每变化1个点时Delta值增加或减少的数量。当标的合约价格上升时，Gamma值为Delta值的增量；当标的合约价格下降时，Gamma值为Delta值的减少数量。对于Gamma为5[1]的期权，标的合约价格每上升（下降）1个点，期权Delta值将增加（减少）5。若该期权的初始Delta值为25，当标的合约价格上升（下降）1个点时，期权的新Delta值将变为30（20）；如果标的合约价格再上升（下降）1个点，新Delta值将进一步变为35（15）。
虽然图6-6显示的是看涨期权Gamma值，图6-7显示的是看跌期权Gamma值，但两张图看上去非常相似。这是因为具有相同执行价格与到期时间的看涨期权和看跌期权曲率也是相同的。 [2]虽然初看起来有些奇怪，但当我们注意到就如-50大于-100一样，0是大于-50的，结果便显得顺理成章了。当负数趋近于0时，负数就更接近于正数（或者说，远离负数）。因此，看涨期权与看跌期权的Gamma值都是正数。交易新手常常会对此感到困惑，因为他们在使用Delta值的过程中，已经习惯将看涨期权与正数、看跌期权与负数联系起来。但是，无论看涨期权或看跌期权，我们总在标的合约价格上升时对原有Delta值加上Gamma值，在标的合约价格下跌时对原有Delta值减去Gamma值。当交易者持有期权多头，无论看涨期权或看跌期权，他都持有Gamma多头头寸；当交易者持有期权空头，他持有Gamma空头头寸。
举例来说，假设有1份Delta值为50的平值看涨期权和1份Delta值为-50的平值看跌期权，两者的Gamma值均为5。如果标的合约价格上升1个点，则对看涨期权的原有Delta值50加上Gamma的数值5，使得到新Delta数值为55。为得到看跌期权的新Delta值，也对看跌期权的原有Delta值-50加上Gamma的数值5，得到看跌期权Delta值为-45。这与我们直觉判断的结论一致：当标的合约价格上升时，平值看涨期权逐渐变为实值期权，平值看跌期权逐渐变为虚值期权。如果标的合约价格下降1个点，对于看涨期权和看跌期权而言，原Delta值均减去Gamma数值，使得看涨期权的Delta值变为45（50-5），看跌期权的Delta值变为-55（-50-5）。此时，看涨期权变为虚值期权，看跌期权变为实值期权。
我们已经知道，标的合约的Delta值为100。但标的合约的Gamma值是多少呢？由于Gamma值是Delta值的变化率，标的合约的Delta值总是100，因此标的合约的Gamma值一定为0。
Gamma是一种测度期权改变其方向性特征的速度的方法，与实际标的头寸的变化较为接近。基于方向性风险的重要性，Gamma值成为一种重要的风险度量手段。实际上，即使交易者不采取任何行动，期权头寸的方向性风险仍可能发生极大的变化。不论是正是负，高Gamma值都意味着高风险水平，低Gamma值都意味着低风险水平。每一位期权交易者都明白，他们需要密切关注的不仅是当前的方向性风险（即Delta值），还要关注当标的市场价格变化时方向性风险如何变化（即Gamma值）。
假设某交易者卖出了10份Delta值为30的看涨期权，也即卖出了300个数量的Delta值（-10×30），理论上等同于卖出3份标的合约。当该交易者习惯于以5份或更少数量的标的合约为一笔进行交易时，这种情况仍在其正常风险限额之内。如果该交易者只考虑-300的初始Delta头寸，当标的合约市场价格上涨10个点时，他可能仍认为自己理论上相当于卖空了3份标的合约。但如果单个看涨期权的初始Gamma值是6，结果又会怎样呢？在这种情况下，标的合约每上升1个点，单个看涨期权的Delta值将上升6。当标的合约价格上升10个点时，单个看涨期权的Delta值将上升60，实际Delta值将达到90。交易者的方向性风险至此增长了3倍。Delta头寸由初始的-300变成了现在的-900，大大超过了该交易者的正常风险限额。
高Gamma值有时会令经验不够丰富的交易者蒙受损失。交易新手常被告诫要避免Gamma值较高的头寸，特别是Gamma值为负的情况，因为此类头寸的变化非常迅速。即使经验丰富的交易者也只会偶尔持有高Gamma值的头寸。1985年春天，纽约商品交易所（COMEX）发生的沃伦投资者（Volume Investors）清算公司崩盘事件便是一例。多个通过该公司完成交易清算的交易者卖出大量虚值黄金期权，构建了数值极高的负Gamma头寸。在以往，这是一种非常有效的获利策略，因为黄金市场相对平稳、波动很小。但在当时，黄金市场却出现剧烈向上波动。在快速上行的市场中，交易者的原本中性头寸的Delta值变为数以千计的空头。交易者蒙受的损失不仅令清算公司倒闭，更引发了纽商所清算联合会的危机。如果有一方（无论是交易商、清算公司或是清算联合会）能够意识到高负值Gamma头寸所代表的无法承受的风险水平，或许就能避免这一危机的发生。当前，大多数为客户交易或清算期权的公司都已任命了专职风险经理负责辨识这类危险的头寸。
Gamma还能帮助交易者快速估测Delta变化以维持Delta中性头寸。假设某交易者在开盘前持有Delta值为+500的头寸。如果他希望达成Delta中性的状态，他必须在开盘后卖出500个Delta值。这可以通过卖出5份标的合约来完成。但假设该交易者头寸的Gamma值是+100，并预期市场开盘后将上涨2个点。若市场价格开盘后确实上涨，则该交易者头寸的Delta值将不再是+500，而是变成了+700。这是因为市场价格每上涨1个点，该交易者头寸的Delta值就增加100。此时，为达到Delta中性的状态，交易者必须卖出700个Delta值，或者说是7份标的合约。交易者只要获知初始Delta值和Gamma值后便可完成交易策略的计算，而不需要借助任何电脑工具。
由于期权Delta值总是位于0~100的范围内（对于看跌期权，范围为-100~0），从逻辑上我们可以得到结论，Gamma值也必然在变化之中。否则，持续地加上或减去固定的Gamma值将使Delta值超出0~100的范围。市场条件变化对Gamma值的影响如图6-8、图6-9与图6-10所示。如图6-8显示的是，平值期权的Gamma值最大，并随着期权逐渐变为实值期权或虚值期权而逐渐减小。图6-9与图6-10显示的是，随着到期时间的临近或波动率假设的减小，平值期权的Gamma值将大幅增加。交易者的Gamma头寸初始时可能很小，但随时间推移或波动率变化，Gamma值可能会变得越来越大。期权头寸必须始终处于监控下，以确保其风险特性保持在可接受的范围之内。
图6-8 看涨期权或看跌期权的Gamma值与标的合约价格
图6-9 看涨期权或看跌期权的Gamma值与剩余到期时间
图6-10 看涨期权或看跌期权的Gamma值与波动率
尽管Gamma值可能是最常见的Delta值变动的度量方式，但除了标的合约价格变化之外，Delta值还受到市场条件变化的影响。图6-11与图6-12显示了看涨期权与看跌期权的Delta值随时间推移的变化情况。图6-13与图6-14显示了期权Delta值随波动率变化而变化的情况。请注意，这4张图中的形状都基本相同。当我们假设剩余到期时间越长或波动率越高时，所有期权都将变得更接近于平值期权，也即看涨期权Delta值接近于50、看跌期权Delta值接近于-50。与之相反，当假设剩余到期时间越短或波动率越低时，所有期权的Delta值将离50越来越远（对于看跌期权而言是-50）。实值期权将因此变得更加实值，虚值期权将变得更加虚值。Delta值接近于50的平值期权将不受时间变化与波动率变化的影响，其Delta值特性保持不变。
或许读者会问，此处的“平值”（at-the-money）意味着什么。交易者倾向于将平值期权视作执行价格约等于标的合约当前价格的期权。根据这一定义，交易者将本能地对任何执行价格等于当前市场价格的期权的Delta值赋为50。但是，理论定价模型将平值期权（Delta值为50的期权）诠释为，执行价格有可能最接近标的合约到期时市场价格的期权。假设年化利率为12%，某股票当前的市场交易价格为100美元。如果有2份5个月的看涨期权，执行价格分别为100和105，哪份看涨期权的Delta值更接近50呢？正如第4章中论述的那样，大部分理论定价模型都假设价格分布的均值为标的合约的远期价格（即盈亏平衡价格）。在本例中，远期价格是当前股票价格100美元加上5个月持有期间内的持有成本5美元。因此，执行价格为105的看涨期权是理论定价模型所认为的平值期权，其Delta值为50。由于不同的标的合约类别、极端的利率条件或较长的剩余到期时间等因素，期权的Delta值可能与我们本能推测出的结果截然不同。
图6-11 看涨期权Delta值与剩余到期时间
图6-12 看跌期权Delta值与剩余到期时间
图6-13 看涨期权Delta值与波动率
图6-14 看跌期权Delta值与波动率
正如Delta中性期权头寸会因标的合约价格变动而不再平衡，时间推移或波动率变化也会打破这一中性状态。没有交易者能够完全确定自己的头寸是Delta中性的，因为他们无法确认理论定价模型输入变量是完全精确的。与其他影响因素一样，波动率的假设也会影响到Delta值。但波动率仅仅是个假设而已。如果交易者卖出4份Delta值为25的看涨期权并买入1份标的合约，他或许可以认为自己是Delta中性的。但为了使看涨期权的Delta值维持在25，交易者必须将波动率变动的相关假设输入理论定价模型。如果他随后认为初始波动率假设过低并提高了它，那么结果就如图6-13所示，看涨期权的Delta值将上升并更接近50。在新的波动率假设下，看涨期权的Delta值可能变为35。交易者现在不再是Delta中性的状态，而是持有40个Delta空头头寸，但交易者仅仅是改变了对市场条件的假设而已。
前述讨论内容并没有令Delta中性的概念站不住脚，Delta中性仍是非常重要的理论。但交易者必须明白，Delta中性头寸依赖于对当前及未来市场条件的估测，而这些估测的正确性无法得到保证。当交易者改变对于市场条件的假设，他必须同时不断随新假设而调整交易策略。Delta中性交易只是这一原则的一个方面。
[1] 当Delta以小数点格式（0~1.00）表示时，Gamma也采用同样的小数点格式。
[2] 如果像图6-6与图6-7所假设的那样，利率为0，则执行价格相同的看涨期权与看跌期权Gamma值相等。若利率不为0，则交易者可能提前执行，看涨期权与看跌期权的Gamma也将有所不同。