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16.3 市场间波动率价差
假如交易者认为ABC和XYZ应该具有接近相同的波动率水平，但他发现ABC期权的隐含波动率为20%，与XYZ期权的隐含波动率25%相差很远。如果交易者还认为两份合约中的一个价格走势应该强于另一个，他就会通过买入走势较强的标的资产的看涨期权（看跌期权）、卖出另一个资产的看涨期权（看跌期权）。但如果交易者对两个市场的相对价格走势强弱并无判断，他只是认为其中一种资产的期权价格与另外一种资产的期权价格相比定价过低或定价过高，他只希望持有一个市场波动率的多头、另一个市场波动率的空头，他该怎么办？
图16-3 21份55ABC看涨期权多头/12份95XYZ看涨期权空头
图16-4 21份45ABC看跌期权空头/12份105XYZ看涨期权多头
假如交易者买入ABC看涨期权，卖出XYZ看涨期权，如果他对波动率的判断是正确的，且两个市场价格同方向变动，无论市场价格怎样变动他都将获得收益（见图16-1）；但只有在ABC和XYZ价格同时上涨时，他的收益才会达到最大。同样地，如果交易者买入ABC的看跌期权，卖出XYZ的看跌期权，无论市场价格怎样变动他都将获得收益（见图16-2）。但此时只有在ABC和XYZ价格同时下跌时，他的收益才能达到最大。只对波动率做出判断的交易者可以利用两个市场的波动率定价错误关系构建以上市场间价差。也就是说，交易者可以在一个市场上买入跨式期权或宽跨式期权，在另一个市场上卖出跨式期权或宽跨式期权。
由于交易者不是根据ABC或XYZ的确切波动率水平构建头寸，而是根据两个市场的相对波动率来构建头寸，他不能确定期权的准确Delta值。解决这一问题的最简单办法是利用平值跨式期权。无论准确的波动率是多少，交易者知道平值期权的Delta值都约为50。
假如交易者决定买入20份执行价格为50的ABC跨式期权。如果交易者希望整个头寸的价值仅仅取决于两个市场波动率之间的相关关系，他应该买入多少份执行价格为100的XYZ跨式期权？交易者可将其头寸看成为ABC/XYZ看涨期权价差与ABC/XYZ看跌期权价差的组合。由于ABC的$Delta值为200美元，交易者全部执行价格为50的ABC看涨期权头寸的$Delta值为
20×200×0.50＝2000（美元）
XYZ的$Delta为100美元，因此每份XYZ看涨期权的$Delta为100×0.50＝50美元。正确的XYZ看涨期权的卖出数量应该为
以上计算过程同样适用于确定ABC和XYZ看跌期权的数量，此时看跌期权Delta值约为-50。如果交易者买入10份执行价格为50的ABC看跌期权，他的$Delta头寸为
10×200×（-0.50）＝-1000（美元）
由于执行价格为100的XYZ看跌期权的$Delta为-50美元，我们需要卖出40份执行价格为100的XYZ看跌期权，来对冲买入的20份执行价格为50的ABC看跌期权。整体头寸为
20份50ABC看涨期权多头 40份100XYZ看涨期权空头
20份50ABC看跌期权多头 40份100XYZ看跌期权空头
以上头寸到期时的价值如图16-5所示。
图16-5 20份50ABC看涨期权多头/25份50ABC看跌期权多头/40份100XYZ看涨期权空头/40份100XYZ的看跌期权空头
注意，在图16-5中，如果ABC和XYZ价格同步变动，头寸整体的收益等于收到的XYZ期权（隐含波动率＝25%）权利金减去支付的ABC期权（隐含波动率＝20%）权利金。假设ABC的20%隐含波动率和XYZ的25%隐含波动率结果证明是正确的，这意味着XYZ价格变动比ABC价格变动快25% 在这种情况下，从图16-5中我们可以发现，价差类似于跨式期权空头，当市场价格不动时价差价值最大，市场价格大幅波动时价差产生损失。
如果交易者认为XYZ价格变动速度要快于ABC的价格变动，正如隐含波动率所显示的那样，那么交易者可能会改变价差构成比例。如果XYZ价格波动率比ABC价格波动率大25%，交易者可以在原来价差基础上多买入25%的ABC跨式期权。此时已不是买入20份，而是买入25份ABC跨式期权。新比例条件下价差的收益情况如图16-6所示。
图16-6 25份50ABC看涨期权多头/25份50ABC看跌期权多头/40份100XYZ看涨期权空头/40份100XYZ看跌期权空头
从图16-6中我们可以看出，新的25×40价差在XYZ价格变动速度比ABC价格变动快25%时达到盈亏平衡。如果ABC和XYZ同步变动，价差整体类似于跨式期权多头。在新的25×40价差中，两种标的合约的波动率差异成为决定价差正确比例的因素。最初，交易者基于以下关系式构建价差
ABC合约数量×ABC合约$Delta×ABC期权Delta
＝XYZ合约数量×XYZ合约$Delta×XYZ期权Delta
但考虑到两份合约波动率的不同，价差现在的平衡条件是
ABC合约数量×ABC合约$Delta×ABC期权Delta×ABC波动率
＝XYZ合约数量×XYZ合约$Delta×XYZ期权Delta×XYZ波动率
我们的XYZ看涨期权头寸为
40×100×0.50×0.25＝500（美元）
考虑到波动率因素，每份ABC看涨期权的$Delta为
200×0.50×0.20＝20（美元）
因此，平衡价差需要的ABC合约数量为500/20，即25份合约。此时价差完全平衡，由于
25×200×0.50×0.20＝40×100×0.50×0.25
我们可以看出，两份合约的波动率关系是决定市场间价差中合理比例的重要因素。正确预测一种标的合约的波动率都非常困难，交易者如何能准确预测两种不同合约的波动率呢？构建市场间价差时，重点不在于准确判断每种合约的波动率水平，而是合约间的波动率关系。如果交易者能够确定这种关系，波动率具体取值并不会影响价差的价值。举例来说，如果我们已确定XYZ总是比ABC波动大25%，实际上的ABC和XYZ的波动率水平并不重要。不论ABC的波动率是20%、XYZ的波动率是25%，还是ABC的波动率是12%、XYZ的波动率是15%，还是ABC的波动率是28%、XYZ的波动率是35%，只要确定相对关系后，价差内不同合约的比例也就确定下来。
是否能够识别出存在波动率关系的市场呢？虽然没有绝对准确的答案，一些市场确实关系密切，这些市场的波动率之间存在着明确的相关关系。
举例来说，有好几个指数都在跟踪美国股票市场的表现。我们不但能够预期到这些指数至少在较长时间区间内价格同步变动，还能预期到它们之间存在类似的波动率特性。以这些指数中的标普100（OEX）和NYSE综合指数（NYA）为例（见图16-7），两个指数50天历史波动率之间存在明显的相关关系，但这种关系是否相关程度很高呢？为了回答这一问题，可将NYA的波动率占OEX波动率的百分比描绘于图16-8。我们从中能看到，NYA的波动率通常介于OEX波动率的80%~95%。粗略估计我们可以认为，平均来讲NYA的波动率约为OEX波动率的87%。
图16-7 OEX与NYA的历史波动率
图16-8 NYA波动率占OEX波动率的百分比
假如我们发现在CBOE交易的OEX期权和在NYSE交易的NYA期权隐含波动率近乎相同。由于原预期为NYA的波动率要低于OEX的波动率13%，我们怎样构建交易策略，利用OEX期权和NYA期权之间相对定价错误而获利呢？如果我们决定买入平值OEX跨式期权、卖出平值NYA跨式期权，并考虑到两个市场波动率的相关性，可以构建平衡价差：
OEX跨式期权数量×OEX的$Delta×0.87
＝NYA跨式期权数量×NYA的$Delta
假如OEX当前价格为440、NYA当前价格为260，由于两份合约的每点价值都是100美元，$Delta对于两个指数是
对于每卖出的1份NYS跨式期权，我们必须买入0.87×260/440，或约0.51份OEX跨式期权。如果我们希望买入20份执行价格为440的OEX跨式期权，由于39×0.51≈20，为平衡市场间价差我们需要卖出约39份执行价格为260的NYA跨式期权。价差可以是
如果以同样的隐含波动率买入OEX跨式期权、卖出NYA跨式期权，头寸到期时的价值如图16-9所示。
注意，如果两个指数同方向变动，且正如预期，NYA波动率是OEX波动率的87%，价差头寸可以获得由13%波动率差异所产生的固定利润。即使波动率变为原来的2倍或3倍，只要NYA波动率是OEX波动率的87%，头寸的收益均相同。
从图16-8中我们可以看出，NYA波动率并不一定必须是OEX波动率的87%。如果最终NYA波动率接近于变动区间上限即OEX波动率的95%，或接近于变动期权下限即OEX波动率的80%，价差头寸的收益情况又会发生怎样的变化？这两种可能性都在图16-9中描绘出来。在前一种情况（NYA波动率是OEX波动率的95%）下，头寸类似于跨式期权空头，任何波动率的上升都会减少头寸的价值；在后一种情况（NYA波动率是OEX波动率的80%）下，头寸类似于跨式期权多头，任何波动率的上升都会增加头寸的价值。很明显，如果我们关注头寸的风险，主要的风险来自于NYA波动率相对于OEX波动率上升。即使存在这样的风险，由于误差幅度很大，这种价差仍然非常吸引人。
图16-9 20份440OEX看涨期权多头/20份440OEX看跌期权多头/39份260NYA看涨期权空头/39份260NYA看跌期权空头
在典型的波动率价差中，交易者通常关注价差的Delta、Gamma、Theta、Vega等值。在市场间价差中我们也要考虑这些敏感度指标。就像通过计算$Delta可以便于比较不同市场中的合约一样，我们也可以计算$Gamma、$Theta、$Vega等。相关定义和解释分别为
假设隐含波动率为11%，利率水平为5%，还有70天到期，几个OEX和NYA期权合约的货币价值敏感度约为： [1]
OEX＝440.00，到期期限＝70天
波动率＝11%，利率＝5%
NYA＝260.00，到期期限＝70天
波动率＝11%，利率＝5%
我们OEX/NYA头寸的全部货币价值敏感度为
我们如何解释这些敏感度指标呢？虽然$Delta为-105表示头寸更倾向于市场价格下跌而非上涨，但实际上由于倾向性程度较低绝大多数交易者都将其视为$Delta中性。相对来讲，$Delta为-105表示空头头寸只有1份OEX合约（$Delta为440）的24%，或1份NYA合约（$Delta为260）的40%。 [2]
但为什么头寸具有负的$Gamma、正的$Theta、负的$Vega [3]呢？
$Gamma总计为-195似乎表明标的合约价格变动会使头寸受损。如果OEX和NYA指数同步变动，从图16-9中我们可以看出事实确实如此。但并不能期望现实中OEX和NYA的确会同步变动，我们预期NYA的变动只是OEX变动的87%。如果我们将NYA的$Gamma头寸乘上0.87，并将其加到OEX的$Gamma头寸上，结果得到$Gamma总计接近于0： [2]
（720＋840）－0.87×（819＋936）≈33
这反映出，只要NYA价格变动速度是OEX价格变动速度的87%，我们对两个指数究竟如何变动其实并不敏感。
同样的推导过程也适用于$Vega头寸。$Vega合计为-452意味着波动率增加将导致头寸损失。如果OEX和NYA的波动率上升幅度相同，能得到这样的结论。但在波动率上升时，我们预计NYA的波动率上升幅度只有OEX波动率增幅的87%。如果将NYA的$Vega值乘上0.87，并加上OEX的$Vega头寸，$Vega总计约为0： [5]
（1500＋1480）－0.87×（1716＋1716）≈-6
这表明，在NYA波动率为OEX波动率87%的条件下，我们对波动率变化是不敏感的。
从这些例子中我们可以发现，事实上$Gamma、$Theta、$Vega应该反映标的合约的相对波动率。在我们的例子中
计算完成后我们会发现，只要NYA指数价格变动速度是OEX指数价格变动速度的87%，市场间价差头寸对价格变动、时间流逝、波动率变化等并不敏感。
假设不是卖出NYA平值跨式期权，而是卖出NYA平价宽跨式期权来对冲买入的OEX平值跨式期权，我们可以建立以下$Delta中性头寸
20份440OEX看涨期权多头 69份270NYA看涨期权空头
20份440OEX看跌期权多头 69份250NYA看跌期权空头
由于执行价格为440的OEX看涨期权的$Delta为259，执行价格为270的NYA看涨期权的$Delta为75，对于买入的每份执行价格为440的OEX看涨期权，我们必须卖出259/75（或约3.45）份执行价格为270的NYA看涨期权。同样地，由于每份执行价格为440的OEX看跌期权的$Delta值为-196，每份执行价格为250的NYA看跌期权$Delta值为-41，对于买入的每份执行价格为440的OEX看跌期权，我们必须卖出196/41（或约4.78）份执行价格为250的NYA看跌期权。在已经买入20份执行价格为440的OEX跨式期权的情况下，为了构建$Delta [6]中性市场间价差，我们必须卖出69份执行价格为270的NYA看涨期权和96份执行价格为250的NYA看跌期权。
头寸的敏感度指标分别为
考虑到NYA的$Gamma、$Theta、$Vega等值都要乘上0.87，价差的敏感度总计为
$Delta＝5180－3920－5175＋3936＝+21
$Gamma＝720＋840－0.87×（1242＋1248）＝-606
$Theta＝-185.80－80.00＋0.87×（279.45＋177.60）＝＋131.83
$Vega＝1500＋1480－0.87×（2691＋2688）＝-1700
虽然$Delta头寸接近中性，-$Gamma、+$Theta、-$Vega都表明该价差类似于跨式期权空头：标的市场价格大幅变动、波动率增加等都会使头寸遭受损失，时间的流逝、波动率的下降都会增加头寸的价值。如果我们构建这样的价差，不但要受到两个标的市场相对波动率的影响，还要受到两个市场过高隐含波动率的影响。
在认为相对波动率关系不正确、隐含波动率过低的情况下，交易者应该构建怎样的头寸？此时，应该构建+$Gamma、-$Theta、+$Vega的头寸。举例来说，我们可以买入执行价格为425/455的OEX宽跨式期权、卖出执行价格为260的NYA跨式期权
20份425OEX看涨期权多头 18份260NYA看涨期权空头
20份455OEX看跌期权多头 14份260NYA看跌期权空头
由于执行价格为455的OEX看涨期权的$Delta为140、执行价格为260的NYA看涨期权的$Delta为152，对于买入的每份执行价格为455的OEX看涨期权，我们必须卖出 （或约0.92）份执行价格为260的NYA看涨期权。同样地，由于每份执行价格为425的OEX看跌期权的$Delta为-81、每份执行价格为260的NYA看跌期权的$Delta为-117，对于买入的每份执行价格为455的OEX看跌期权，我们必须卖出 （或约0.69）份执行价格为260的NYA看跌期权。在已经买入20份执行价格为 OEX宽跨式期权的情况下，为了构建$Delta中性市场间价差，我们需要卖出约18份执行价格为260的NYA看涨期权和14份执行价格为260的NYA看跌期权。
头寸的敏感度指标分别为
考虑到NYA的$Gamma、$Theta、$Vega等值的0.87乘数因子，价差的敏感度总计为
$Delta＝2800－2736－1620＋1638＝+82
$Gamma＝660＋500－0.87×（378＋336）＝-1781
$Theta＝-137.40－61.80＋0.87×（98.82＋33.04）＝+84.48
$Vega＝1380＋1020－0.87×（792＋616）＝-1175
+$Gamma、-$Theta、+$Vega表明这个价差类似于跨式期权多头：任何标的资产市场价格大幅变动或波动率增加都会使头寸价值增加，时间流逝和波动率降低会使头寸遭受损失。如果我们构建这样的价差头寸，不但要受到两个标的市场相对波动率的影响，还要受到两个市场隐含波动率过低的影响。
虽然构建市场间波动率价差的初衷是利用交易者对两个不同市场间波动率相关关系的判断，这种价差也可以做进一步的应用。当相对于另一个市场而言，一个市场的隐含波动率不正确时，交易者只需要买入定价相对便宜市场上的跨式期权，卖出定价相对昂贵市场上的跨式期权。如果交易者还认为两个市场的隐含波动率都过高或过低，通过持有合适的$Gamma值与$Vega值头寸，交易者可以构建波动率价差，利用定价错误获利。根据交易者的判断，他将构建以下四种基本波动率价差中的一种
+$Gamma/+$Vega（反套利）
-$Gamma/-$Vega（比例垂直价差）
-$Gamma/+$Vega（时间价差多头）
+$Gamma/-$Vega（时间价差空头）
对于波动率价差的更详细讨论及它们的特性，读者请参考本书第8章。
[1] 这些数字都是近似值。虽然提前执行利用Cox-Ross-Rubenstein模型纳入考虑范围内，但没有考虑股利支付因素。此外，为方便起见数字都是四舍五入的。
[2] 在完全平衡的市场间价差中，$Delta、$Gamma、$Theta、$Vega总计都应为0。
[3] 此处原文为Vega，而非$Vega，但从上下文来看，应为$Vega。——译者注
[4] 在完全平衡的市场间价差中，$Delta、$Gamma、$Theta、$Vega总计都应为0。
[5] 同三。
[6] 此处原文为Delta，但从上下文来看，应为$Delta。——译者注