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Gamma和Delta中性
建立一个价格中性头寸的下一个合乎逻辑的步骤，是建立一个对delta和gamma都中性的头寸。按这种方法，这个头寸就不会因为标的工具的价格变化而承担多少风险。虽然对许多交易者来说，想到这样做就会感到灰心丧气，但是构建这样一个头寸是相当简单的一件事。这里只有两步要走：①创造一个gamma中性的头寸，然后，②将delta中性化。这第2步始终是通过标的证券的（对等）股份或者合约来完成的。
例子：假定一个股票在年初时是按98在交易，一个交易者有兴趣要用下面的3个月的期权建立一个gamma和delta中性的头寸（见表6-23）。
请注意，这个gamma是个很小的数字，因此，在你处理gamma的时候，特别是当你在做大笔交易的时候，你应当使用至少是小数点之后的3位数字。
现在，为了创建一个gamma中性的头寸，我们只需要将相关的两个gamma相除以决定其中性比率。在这个例子里，一个中性的头寸就会是每卖出3手3月110看涨期权，就买进2手3月100看涨期权，因为gamma的比率也是2比3（0.020比0.030）。这个头寸有一个非零的delta，在这个例子里，我们所关心的是将这个delta中性化。
为了这个例子的目的，让我们假设我们的实际交易是买进200手3月100看涨期权，卖出300手3月110看涨期权。这个头寸有下列的ESP，或者说，头寸delta（见表6-24）。
为了将这个头寸中性化，我们可以就这个期权套利出售（卖空）2 500股普通股股票，或者，我们也可以使用我们在对等头寸方面的知识，卖出25手3月100看涨期权，并且买进25手3月100看跌期权作为替代。如果我们使用这些期权的话，那么由此产生的头寸就会是：
买进175手3月100看涨期权
卖出300手3月110看涨期权
买进25手3月100看跌期权
要注意：使用对等期权头寸完全没有改变gamma。无论是股票还是对等头寸都没有任何gamma（也就是说，3月100看涨期权和3月100看跌期权的gamma是相同的，当我们买进和卖出相同数量的看涨期权和看跌期权时，它们之间就相互对冲掉了）。
在前面的例子里，假设我们是使用gamma来建立一个中性的头寸，这个头寸是一个看涨期权比率立权。事实上，我们可以做相反的事。下面这两个头寸中每一个都是gamma中性的：
买进2手3月100看涨期权
卖出3手3月110看涨期权
或者
卖出2手3月100看涨期权
买进3手3月110看涨期权
根据我们实际上想实现的目标，我们可以从这两者中做出选择。如果我们想要卖出波动率，那么我们就会使用第1个头寸，也就是看涨期权比率立权。反过来，如果我们想要买进波动率，那么我们就会使用第2个头寸，也就是反向套利。这个例子没有显示出头寸对波动率的暴露面，但是，根据我们在这一章里已经展示的，我们知道看涨期权比率立权是用来出售波动率的策略之一，我们也知道反向套利是一个用来买进波动率的策略。我们很快会来讨论一个gamma-delta中立头寸对波动率的暴露面。
不过，首先让我们来更为仔细地察看一下这个头寸，这样，你就可以看出一个gamma和delta中性的头寸有些什么特征。图6-13是这个头寸在不同的股票价格上的delta。较平直的那条线是经过7天之后delta的位置，另一条线的跨度更大一些，它是delta在30天的位置。你可以看出，即使在开始时头寸是gamma和delta中性的，随着时间的进程，它的delta会增加，特别是当标的股票的价格发生急剧变化的时候。你必须记住，这个例子里的头寸是一个相当大的头寸，它所积累的delta并不那么大。事实上，在7天之后的delta几乎没有什么重要性：这是gamma-delta中性的头寸的好处。
请注意，delta停留在一个范围内，上下波动不大，在7天里上达大约为100的价格，在30天里上达大约为107的价格。这就意味着，除非股票上升到这样的价格之上，你也许不必调整你的头寸。到了这些价格之上，你就开始有delta卖空。同时，30天之后，你可以看到大幅度的下行运动会导致这个头寸得到一个卖空的delta（这是因为我们买进了25手3月100看跌期权）。一个中性的交易者在这样的情况里也会要调整他的头寸。
指出这样一点，在这里就足够了：在这个例子里，这个头寸的delta比起典型的1对2的看涨期权比率套利（譬如说，买进100手3月100看涨期权，同时卖出200手3月110看涨期权）来，要稳定得多。
我们用这个gamma-delta中性头寸建立起来的实际头寸基本上是一个看涨期权的比率立权，但是它也加进了一些额外的看跌期权，以抓住下行方向的潜在赢利。同时，在这里，买进的看涨期权同卖出看涨期权的比率要小于一个严格的delta中性头寸（不是1:2，而是1.75:3），因此这个头寸在上行方向没有那么大的裸期权的暴露面。
如果你想从赢利-亏损的角度来看这个gamma-delta头寸的话，图6-14显示的就是这个头寸在到期时（直线）和在30天时（曲线）的赢利性。这幅图像假设波动率保持不变，因此，赢利和亏损的增长完全是由于股票的价格运动和时间的进程引起的。在现实中，我们只有在认为波动率会下降的时候才会建立这样的头寸。下面我们会看到这样的情况是如何影响赢利性的。
在这个例子里，这个头寸最初对上升的波动率有暴露面。换句话说，这个头寸是波动率卖空的；或者，用“希腊文”来说，它有一个负值的vega。如果我们出售波动率，这就是我们想要的。为了将这些说法数量化，让我们把前面的例子拓展一下，把波动率包括在我们的计算里。
例子：让我们对这个头寸再做一个假设。让我们假设，这个交易者观察到，典型地说，这个股票的波动率是在20%～30%的范围内交易。现在的波动率是30%，他想要建立一个gamma-delta中性的头寸来出售波动率。我们例子里的头寸就是这样的一张入门券。
下面所列的数据同前面例子里的数据是一样的（见表6-25），不同的是我们现在还可以看到每个头寸的vega。记住，vega是隐含波动率每增长1%时期权的价格（即刻）增长的幅度。在表6-25里，我们也加进了那个看跌期权。
我们最初的头寸：买进175手3月100看涨期权，卖出300手3月100看涨期权以及买进25手100看跌期权，它是delta和gamma中性的，但是，它在波动率上有暴露面。使用这些期权的vega，我们很容易就可以计算出这个暴露面（见表6-26）。
要注意，vega总是用正向的数字来表达的，因此，买进期权的头寸（这个例子里的3月100看涨期权和3月100看跌期权）就有一个正值的vega，而卖出期权的头寸就有一个负值的头寸vega。
上面的头寸vega指出，如果隐含波动率下降1%，譬如说，从30%下降到29%，那么这个头寸就会赢利900美元。当然，这是一个即刻的衡量，而且它受股票价格的变化和时间进程的影响。图6-15显示了30天的赢利，较低的那条曲线就是我们在前面赢利图像中看到的那条曲线，它是如果波动率没有变化时的赢利。较高的那条曲线显示的是如果波动率下跌到25%的话会发生的情况，25%是在我们为这个例子假设的20%～30%这个范围当中。
你可以看到在这个头寸里如果股票高于98而波动率下降的话会产生多少额外的赢利。
这个相当具体的例子说明了从隐含波动率的下跌中，这个gamma-delta中性的头寸可以得到相当可观的赢利。与此同时，比起单纯的看涨期权比率套利来，它基本上维持了一个要好得多的价格中立的前景。我们可以看一看我们所推荐的5个交易波动率的策略中的每一个，看看它们同gamma-delta中性头寸有什么相像之处。这种转化相当有趣。不过，在这样做之前，我们再给你一条解谜的线索，这就是如何建立一个不但gamma和delta都是中性的，而且波动率的暴露面也是你可以接受的头寸。
这可以很容易做到，只要解一个二元一次方程组，然后就所剩的delta做调整就可以了。你一说“二元一次方程组”，许多人就开始慌乱起来。别紧张。解决这个问题有容易的途径。首先，这只是高中的代数，因此，如果你家里有高中生或者大学生，他们也许可以为你解答这个问题。其次，更现实地说，解决两个未知数中的两个等式有简单的程序可以使用，它们或者是可以共享的软件，或者是免费的。如果你找不到这样的程序的话，给我们打电话，如果你付邮费，我们寄给你一个。
我们将使用同一个例子来说明这一点。我们将基本上达到同前面相同的头寸，不过，在这个例子所说的情况里，我们将从一个不同的角度来考虑整个问题，这个角度就是我们想要承担的风险这样一个具体概念。在前面的例子里，我们只是建立gamma-delta中性的头寸，然后看一看它的vega有多大。
例子：假定你想要使用3月期权建立一个看涨期权比率套利，正如我们前面所做的，而且你想要就波动率每1个点的上升，承担1 000美元的风险。当然，这意味着如果波动率每下跌1点，你会有1 000美元的赢利，这就是你赢利的来源。用“希腊文”来说，就每1点上升的波动率承担1 000美元的风险意味着这个头寸的vega是－10.00（见表6-27）。
用x代表要买的3月100看涨期权的数目，y代表要卖的3月110看涨期权的数目。记住，我们想要gamma中性，vega等于－10。这两个等式于是就变成下面的形式。
Gamma中性： 0.030x + 0.020y = 0
Vega风险： 0.180x + 0.150y =－10
解了这个方程组，我们就得到了x = 222和y =－333。这就意味着我们应当买进222手3月100看涨期权，卖出333手3月110看涨期权。这样做了，我们的头寸就会有一些delta。因为我们想要delta中性，我们就需要摆脱这样的delta（见表6-28）。
因此，我们想要或者卖空2 800股股票，或者使用对等的期权头寸：卖出28手3月100看涨期权和买进28手3月100看跌期权。由此产生的头寸就是：
买进194手3月100看涨期权
卖出333手3月110看涨期权
买进28手3月100看跌期权
因此，这个头寸同前面例子里的头寸非常相似，它略为大一些，因为我们想要vega的风险是每点1 000美元，而在那个例子里，每点是900美元。
现在，我们已经建立了如何决定一个头寸是否适度的理论，我们再来看一看其他的交易波动率的策略。前面的例子有些过于简单，在套利所使用的看涨期权中，我们把选择限制在所显示的两个期权里，也就是3月100和3月110上。在现实中，当我们寻找出售波动率的方式时，我们有许多期权可以选择。我们有理由认为我们会在套利的买进的那方面使用平值期权，不过，在卖出的那一方面，有许多可以使用虚值期权的选择。一般说来，策略家可以把挑选过程集中到很少几种选择上，不过，就像我们在下一个例子里可以看到的，有的时候，由于选择了“错误的”期权，头寸就转变成了某种策略家并不想要的东西。
对卖出波动率来说，大部分人感兴趣的一个策略是卖出裸组合套利。当你中性化gamma的时候，这个头寸会发生什么呢？下面的例子说明了这个情况。开始时我们将提供一个gamma-delta中性头寸，它的特有的vega风险是基于一个卖出的组合套利。
例子：像在前面那个例子里一样，假设一个交易者想要出售目前在30%的水平，但正常在20%～30%范围交易的波动率，而且，他想要就每一点波动率的上升有1 000美元的波动率风险。不过，在这个例子里，他想要通过出售一个组合套利来解决这个问题。还记得吧，在这些情况里，我们偏向于使用组合套利（两个定约价）而不是跨式套利来作为卖空的头寸。
股票的价格是98，交易者考虑要卖出3月95看跌期权和3月105看涨期权作为一个卖出的组合套利，然后，他想要通过买进虚值的期权来为这个卖出的头寸套保。在这个例子里，他将要使用2月90看跌期权和2月110看涨期权作为要买进来作为套保的虚值组合套利。当他买进这样的虚值组合套利来保护卖出的组合套利时，他就是在买进“翼翅（wings）”。
在1月2日，就XYZ股票有下列的数据，股票当时的价格是98（见表6-29）。
除了看跌期权的delta，所有的数据都是以正值表达的。这个交易者会有前面那样的方程组，一个是为gamma，一个是为vega。不过，看上去他似乎有4个未知数似的，因为前面列出了4个期权。不过，在现实中，他可以把这个考虑为2个未知数：一个是3月卖出的组合套利，另一个是买进作为套保的2月的组合套利。在把事情这样简单化之后，他把构成部分的总和代入这个方程。
因此，让x = 要卖的3月组合套利的数目，y = 要买的2月组合套利的数目。这个方程组就变成了：
Gamma中性： (0.027 + 0.028) x + (0.025 + 0.024) y = 0
Vega风险： (0.167 + 0.170) x + (0.096 + 0.095) y =－10
解了这个方程组，我们就得出x =－81和y = 91。也就是说，如果这个交易者卖出81手3月组合套利，他就应当买进91手2月组合套利作为套保。如果他想要的话，他可以计算头寸gamma和头寸vega，以确认它们能满足其标准，也就是gamma中性以及vega风险为－10。
这个头寸的delta可以计算如表6-30。
因此，这个头寸基本上是delta中性。如果这个交易者想要真正做到没有偏差，他可以买进100或200股标的股票将这个delta中性化，但是，从实践的角度上说，没有这个必要。
从这个例子里产生的头寸与你想象的可能会有些不同。“正常”的部分是这个卖出的组合套利是被买进更深虚值期权的组合套利所套保的。不寻常的是，买进的期权是在卖出的期权之前到期。由于这样的搭配，保证金的要求会有相当大的不同。在期货期权里，在买进的期权到期之前，它们被视为对卖出的期权进行“回补”的，因此，保证金仅仅是套利的要求。不过，在股票和指数里，由于继续使用不明朗和非逻辑的保证金要求，卖出的期权被视为是裸期权（除非符合做市商的要求，也就是说，这个交易者是为一个交易所的会员在进行交易）。
因为需要将卖出的期权的保证金算作裸期权的保证金，这就使得保证金的要求变得非常大，远远要比这里所涉及的风险大得多。显然，不管标的物在买进的期权到期之前（在这个例子里是2月）有多大的运动，这些买进的期权都会防止出现大宗的亏损，也就是说，亏损是有限的。对质押担保来说，不承认这个事实，是荒唐的。
虽然保证金的要求会降低回报的比率，它并不降低头寸本身的潜在赢利。图6-16显示出了前面的例子里的那个头寸在2月到期时，也就是说，在买进期权的到期日，它看上去是怎么样的。图6-16中的曲线描绘了波动率保持在30%而没有变化时的赢利，上面的曲线显示出，如果波动率降低到25%，也就是在假定的隐含波动率范围的中间段时更大的赢利。同样，相当显然的是，即使这个头寸最初是gamma-delta中性的，由于经过了时间的积累和标的股票的运动，它会有风险积累起来。无论如何，比起只是出售裸组合套利来，这个头寸的风险要小得多，无论标的物在哪个方向上运动得过远，出售裸组合套利都有无限制的风险。
你也许会感到奇怪，为什么我们使用2月期权而不是较长期的期权来为这个卖出的组合套利套保。这样做的理由是：为了在一开始就卖出一手裸组合套利，而且通过买进“翼翅”来使得它变为一个delta中性和gamma中性的头寸，这些翼翅就必须在卖出的组合套利到期之前到期。下面的例子显示出，如果你在买进的一侧使用一个较长期的组合套利，那么一个gamma-delta中性的头寸看上去会是怎么样的。
例子：在波动率和想要建立一个gamma中性、vega风险为每点1 000美元头寸方面，使用同上面的例子相同的假设，下面是有关XYZ的数据：这个股票在1月2日的价格是98（见表6-31）。
同样，我们设定一个二元一次方程组，把每个组合的数字加进去。让x = 要卖出的3月组合套利的数目，y = 要买进的4月组合套利的数目。这个方程组于是就变成：
Gamma中性： (0.027 + 0.028) x + (0.019 + 0.022) y = 0
Vega风险： (0.167 + 0.170) x + (0.170 + 0.192) y =－10
解了这个方程，我们就得到x = 67和y =－90。在我们使用这些数据设立和解决二元一次方程组的时候，我们得出的结论是一个完全不同的头寸。现在，x是一个正值的数字，这就意味着我们应当买进3月的组合套利和卖出4月的组合套利。结果，我们就设定两个比率立权，一个是用看涨期权，一个是用看跌期权：
买进67手3月95看跌期权
卖出90手4月90看跌期权
或者
买进67手3月105看涨期权
卖出90手4月110看涨期权
与我们最初计划的相比，这是一个完全不相同的头寸，不过，如果要从我们所选的4种期权中按照所要求的vega来建立一个gamma中性的头寸，这是唯一的途径。图6-17显示了30天后这个头寸的模样。同样，图6-17中下面的曲线代表了如果隐含波动率保持不变时的赢利和亏损，上面的曲线显示了如果隐含波动率下降到25%时的结果。
请注意，我们并没有真正解决了保证金的难题。同前面的例子一样，我们仍然在卖出较长期的期权（在这个例子里是4月），因此，这个头寸还是会要求相当大数量的质押。
这个头寸的形状有些出乎意料，原因是4月期权的vega很大。为了像我们原先打算的那样，创造出一个负值vega的头寸，几乎无法买进vega如此大的4月期权。3月期权的综合vega是0.337，而4月期权的综合vega则更高，它是0.362。这就意味着，只要波动率下降1个点，3月的组合套利就会亏损大约34美分；而4月的组合套利亏损得更多：36美分。因此，如果我们想要从下跌的波动率中赚钱，那么出售3月组合套利并且买进4月组合套利就没有意义。
这个例子指出了一个非常有趣的现象：要“直觉到”一个具有你所想要的波动率风险的gamma中性的头寸，常常很难。不过，通过使用“希腊文”，你可以精确地看出你需要什么样的构建才能实现你的目标。在这一章里，我们花了相当多的时间来阐明我们的策略的基础：我们想要交易波动率，并且尽量消除由于标的物价格变动而带来的风险。通过使用“希腊文”，我们可以保证我们建立的头寸是我们所需要的头寸。
我常常见到这样的交易者，他们想做的同我们在这一章里所说的没有什么不同，他们建立的头寸，看起来应当起作用，但实际上没有起到这样的作用。典型地说，如果我们想要将我们对波动率将要下降的看法转化为资本，我们就会决定出售组合套利，然后，我们会买进在相同时间到期或者月份晚一些到期的翼翅来进行保护。前面的例子显示出这种想法的悖论之处。在现实中，由于买进了这些翼翅，我们实际上取消了从下跌的波动率中可能得到的赢利。
以上我们看到了两个比较普通的出售波动率的策略：比率套利和出售裸组合套利，我们也看到了在它们转化为gamma-delta中性的头寸时所发生的情况。现在，让我们来考察一下买进波动率的基本策略，也就是买进跨式套利、反向套利和日历套利，看一看就gamma-delta中性头寸而言，该如何运用它们。
日历套利（Calendar）。这里是一个日历套利，不过没有前面例子里那么多细节，它是gamma-delta中性的，波动率暴露面适中（目前vega为+10，请注意到这个加号），在1月2日，XYZ为100，波动率等于20%：
买进52手6月100看涨期权
卖出44手3月100看涨期权
买进15手6月100看跌期权
这看上去有些像一个普通的日历套利，不同的是我们买进了较多的看涨期权，同时买进了一些看跌期权。这是一个很有吸引力的头寸，因为标的物无论朝哪个方向运动，只要运动得足够远，就可以赚钱，如果波动率增加了（这是我们的基本设想），也可以赚钱。此外，如果标的物停滞不动，卖出的看涨期权会给这个头寸提供套保的功能。
图6-18显示了这个头寸的赢利性。曲线显示了在3月这个近期到期月的赢利。图像中较低的线条显示了如果波动率保持在20%没有变化时的结果，而图像中较高的线条则显示了如果隐含波动率上升到25%时可以预见的较好的结果。
反向套利同买进跨式套利（Long Straddle）。这是我们在想要买进波动率（也就是说，在我们想要正值的vega）时使用的其他两个基本策略。我不认为只要使用这些策略，就一定要非常关注gamma的中性。如果这两个策略积累delta，我们就赚钱，因为标的工具在运动。对卖出波动率的策略来说，价格运动的中立性要重要得多，因为，在卖出波动率的情况里，股票价格的大规模的运动会是灾难性的，然而，在买进波动率的时候，大规模的运动会有帮助，因此我一般觉得只要波动率风险合适，delta中性就足够了。
例子；假定眼下波动率是20%，这是它的历史上较低的读数，可能会向上运动，我们因此想要建立一个反向套利。下面的数据所描写的是在1月2日的情况，当时XYZ是100，波动率是20%（见表6-32）。
解了这个方程组，我们就有了一个delta中性的头寸，它的vega为+10。如果波动率增长，它的每1个点的增值就会给我们带来1 000美元的赢利。
Delta中性：0.91x + 0.57y = 0
Vega风险：0.079x + 0.18y = 10
解了这个方程组，我们就得出x =－48和y = 76。因此，我们想要的头寸就是：
买进76手3月100看涨期权
卖出48手3月90看涨期权
这是一个典型的反向套利的头寸。凑巧的是，虽然我们没有刻意将它的gamma中性化，它的gamma还是相当小。我们可以算出，这个头寸的gamma是+2.40。如果标的物上升1个点，这个头寸的最初为中性的delta就会增进到2.40，这就意味着这个头寸的delta现在是买进240股。另外，如果标的物下跌1个点，delta就会是－2.40，或者说，这个头寸这时的delta是卖出240股。
标的物上升得越多，delta也就增长得越多；标的物下跌得越深，delta就下降得越深。最后，你会有一个delta相当大的头寸，或者是在上升市场中的正值的delta，或者是在下跌市场中的负值的delta。不管怎么说，这是一个“有利的”麻烦，因为在标的物的大规模运动之后你会有赢利。我对跨式套利也有同样的感觉，gamma不一定非要是零不可。
如果在买进波动率方面你偏向于使用一个gamma-delta中性的策略，那么我鼓励你使用前面例子所显示的那个日历套利。