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附录5A 期权及期权定价的基础理论
通过期权，期权持有者有权在期权到期日或之前以约定价格（即所谓的行权价格或履约价格）购买或出售指定数量的标的资产。由于这是一项权利而非义务，因此，持有者可以选择不行使权利并允许期权到期。期权分为两种：看涨期权和看跌期权。
期权收益
在看涨期权中，期权购买方有权在期权到期之前的任何时日以固定价格购买标的资产，这个价格被称为敲定价格、执行价格或行权价格（exercise price）。如果该资产的价值在到期时低于执行价格，那么该期权不会被执行，并存续至到期而失效。如果资产的价值大于执行价格，则该期权会被执行，即期权买方按执行价格购买股票，资产价值和行权价格之间的差额构成这笔期权投资的收益。投资的净利润是利润总额与初始支付价格的差额。我们可以通过收益曲线说明期权到期时的现金收益。对于看涨期权，如果标的资产的价值低于执行价格，则期权投资的净收益为负数（等于购买该看涨期权所支付的价格）。如果标的资产的价格超过行使价格，则总收益为标的资产价值与执行价格之间的差额，净收益为总收益与购买看涨期权所支付价格的差额。我们可以在图5A-1中看到上述关系。
图5A-1 看涨期权的收益
在看跌期权中，期权的买方有权在期权到期之前的任何时日以固定价格出售标的资产，该价格也被称为敲定价格、执行价格或行权价格。买方需要为购买这种权利支付价格。如果标的资产的价格高于执行价格，那么该选择权不会被执行，并延续至到期失效。如果标的资产的价格低于执行价格，看跌期权的所有者将行使期权，按执行价格出售股票，并将执行价格与资产市场价值之间的差额确认为总利润。同样，该利润扣除购买看跌期权的初始成本即为这笔交易的净利润。如果标的资产的价值超过执行价格，则该看跌期权的净收益为负数，其利润总额为资产市场价值低于执行价格时的执行价格与标的资产市场价值之间。图5A-2汇总了上述关系。
图5A-2 看跌期权的收益
还有一点需要加以区分，期权通常可划分为美式期权或欧式期权。两者之间的主要区别在于，美式期权可以在到期之前的任何时日行权，而欧式期权只能在到期时点行权。因此，提前行权的可能性会导致美式期权比类似的欧式期权更有价值，但这也导致美式期权更难以估值。为使用针对欧式期权而设计的估值模型对美式期权进行估值，我们需要采用一个补充因子。在大多数情况下，与期权剩余期限和交易成本相关的时间溢价会导致提前行权成为一种次优选择。换句话说，对于实值期权（in-the-money option，或称价内期权，是指具有内在价值的期权。当看涨期权的执行价格低于市场价格时，该看涨期权具有内在价值；当执行价格高于市场价格时，则看跌期权具有内在价值），其持有者出售期权带来的收益要高于行使期权的收益。[1]
期权价值的决定因素
期权的价值取决于与标的资产和金融市场有关的一系列相关变量。
标的资产的当前市场价值：期权是一种依赖标的资产获得价值的资产，因此标的资产价值的变化会影响到期权通过该资产所实现的价值。由于看涨期权可为持有者提供按固定价格购买标的资产的权利，因此资产价值的增加会提高看涨期权的价值。另外，看跌期权的价值则会随着标的资产价值的增加而下降。
标的资产价值的变化：期权买方获得按固定价格购买或出售标的资产的权利。标的资产价值的波动性越大，期权的价值就越大。无论是看涨期权还是看跌期权，概莫能外。尽管风险指标（方差）的增加会提高价值这一结论似乎有悖常理，但期权的确不同于其他有价证券，因为期权买方的损失永远不会超过他们为购买期权所支付的价格；另外，它们通过标的资产价格上涨所能实现的收益则是没有上限的。
对标的资产支付的股息：如果在期权期限内对标的资产支付股息，那么我们就可以预期，该标的资产的价值会下降。因此，对于以该标的资产为基础的看涨期权而言，应该是预期股息支付水平的递减函数，而看跌期权的价值则是预期股息支付的递增函数。针对看涨期权，我们可以用一种更直观的方式理解股息支付，即它相当于延迟执行实值期权的成本。要理解这背后的原因，不妨考虑一下以流通股票为标的资产的期权。如果看涨期权拥有内在价值——属于价内期权，那么期权持有者会执行期权并取得总收益，行使看涨期权需要为持有者提供股票，并赋予他们随后凭借该股票获得股息的权利，而不执行该期权则意味着放弃股票日后支付的股息。
期权的执行价格：用来描述期权的一个关键特征就是执行价格。在看涨期权中，当持有人获得以固定价格购买标的资产的权利时，期权的价格会随着执行价格的上涨而下跌；看跌期权则赋予持有者按固定价格出售的权利，期权价格会随着执行价格的上涨而增加。
期权的到期时间：随着到期期限的延长，看涨期权和看跌期权的价值都会增加。因为到期时间越长，就可以为标的资产价值提供更长的变动时间，从而增加了两种类型期权的价值。此外，针对看涨期权，买方必须在到期时支付固定价格，这个固定价格的现值也会随着期权期限的延长而下降，从而提高了看涨期权的价值。
与期权期限相对应的无风险利率水平：由于期权的购买者需要为购买期权而支付相应的价格，因此这笔支出会带来机会成本。这个成本的大小取决于利率水平和期权的到期时间。由于行权价格不必在期权到期之前实际支付（或接受），因此在计算行权价格的现值时，需要在期权的估值中考虑无风险利率。在这种情况下，利率上升必然会增加看涨期权的价值，降低看跌期权的价值。
表5A-1总结了上述变量及其对看涨期权及看跌期权价格的预期影响。
表5A-1 影响看涨期权及看跌期权价格的各变量总结
期权定价模型
1972年，费希尔·布莱克（Fischer Black）和迈伦·斯科尔斯（Myron Scholes）在他们的开创性论文中，针对不支付股息的欧式期权估值提出了估值模型，自此以来，期权定价理论取得了长足发展。布莱克和斯科尔斯使用的是“复制组合”（replicating portfolio），该组合由标的资产和无风险资产组成，并具有与被估值期权相同的现金流，随后，他们以此为基础推导出最终的估值公式。虽然这个推导过程在数学上极为复杂，但它的基本原理完全适用于另一种更简单的二项式期权估值模型。
二项式模型
二项式期权定价模型（binomial option pricing model）的基础是资产定价过程的一个简单公式，在这个过程中，资产可在任何时间段内取两种可能价格之一。图5A-3为针对股票定价过程的二项式模型的一般表达式。
图5A-3 二项式定价路径的常见形式
在图5A-3中，S代表当前股票的价格，在任何时间段内取两种可能价格之一。价格上涨到Su的概率为p，下降到Sd的概率为1-p。
创建复制组合的目标，就是使用有无风险借款/贷款及标的资产构成的资产组合，复制出与被估值期权相同的现金流。这里适用于套利原理，而且期权价值必须等于复制组合的价值。在前述的通用公式中，股票价格可在任何时间段内上涨到Su或是下降至Sd，因此，对执行价格为K的看涨期权而言，其复制组合包括借款B和收购的标的资产Δ，其中：
式中 Cu——股票价格为Su时的看涨期权价值；
Cd——股票价格为Sd时的看涨期权价值。
在跨期的二项式过程中，估值必须采取迭代方式，即从最后一个时段开始，然后向前期移动，直到当前时点。复制该期权的组合逐步创建并进行估值，从而提供期权在该时段的价值。二项式期权定价模型的最终结果是以复制组合形式表述该期权的价值，其中，复制组合由标的资产的股份（期权的变化率）和无风险借贷/贷款构成：
看涨期权的价值=标的资产的当前价值×期权价值变化率-复制该期权所需要的借款
不妨考虑一个简单的例子（见图5A-4）。假设我们的目标是对执行价格为50美元的看涨期权进行定价，该期权预计在两个时间段后到期，标的资产的当期价格为50美元，其价格变化且预期遵循二项式过程。
图5A-4 股票价格——二项式路径
现在，我们假定利率为11%。另外，我们给出如下定义：
Δ——复制组合中的股票数量；
B——复制组合中的借款金额。
我们的目标是合成金额为Δ的股票和金额为B的借款，以复制出执行价格为50美元的看涨期权现金流。这个过程需要通过迭代方式进行，即从最后一个周期（t=2）开始，然后通过二项树进行回溯。
步骤1：从末端节点开始向后推算，如图5A-5所示
图5A-5 复制t=1且S=70美元情况下的组合
因此，如果股票价格在t=1时为70美元，那么借入45美元和买入1股股票即可获得与买入看涨期权相同的现金流。如果股票价格为70美元，那么t=1时的看涨期权价值为：
看涨期权的价值=复制头寸的价值=70×Δ-B=70-45=25（美元）
再考虑在t=1时，二项式另一个分支的情况，如图5A-6所示。
图5A-6 复制t=1且S=35美元情景下的组合
如果股票在t=1时的价格为35美元，那么该看涨期权就没有价值。
步骤2：向后移动到较早时段，并辅助一个与被估值期权具有相同现金流的组合（见图5A-7）。
图5A-7 复制t=0时的组合
换句话说，只要同时借入22.50美元并购买5/7的股票，即可得到与执行价格为50美元的看涨期权相同的现金流。因此，该看涨期权的价值必然等于上述投资组合的价值：
看涨期权的价值=复制组合的价值=5/7×当前股票价格-22.50=13.20（美元）
二项式模型为我们提供了解析对期权价值决定因素的洞见。期权的价值并不依赖于资产的预期价格，而是取决于它的当前价格，毕竟，只有当前价格才能反映未来预期，这也是套利的直接后果。如果期权价值偏离复制组合的价值，投资者就可以创建一个套利头寸，也就是说，建立一个无须投资、不涉及风险且具有正收益的套利组合。举例来说，如果复制看涨期权的投资组合在成本上高于市场上的看涨期权，那么投资者就会在市场上直接购买看涨期权，出售持有的复制组合，即可得到买卖差价形成的利润。两个仓位的现金流一进一出，相互抵消，使得后期不存在净现金流收支。此外，随到期时间的延长、价格变动（u和d）的增加以及利率的提高，使得期权价值也会相应提高。
布莱克-斯科尔斯期权定价模型
二项式模型是一个针对资产价格变动的离散时间模型，它涵盖了价格变动之间的时间间隔（t）。随着时间间隔的缩短，t无限趋近于0，极限分布可采取如下两种形式之一：如果随着t趋近于0，价格变得逐渐减少，极限分布体现为正态分布，全额价格变动过程反映为连续变动；如果在t趋近于0时，价格变动仍然很大，则限制分布表现为泊松分布，即允许价格呈现跳跃式分布。
当限制分布表现为正态分布时，适合于采用布莱克-斯科尔斯模型，该模型明确假定，价格变动过程为连续的。[2]
模型 最初的布莱克-斯科尔斯模型是针对不分红的欧式期权估值而设计的。因此，在这个版本的模型中，无论是提前执行期权或是支付股息的概率，都不会影响期权价值。按照布莱克-斯科尔斯模型，看涨期权的价值可以表述为如下变量的函数：
S——标的资产的当前价值；
K——期权的价格；
t——期权的有效期限；
r——与期权期限相对应的无风险利率；
σ2——标的资产的对数价值变动（方差）。
模型本身表述为：
看涨期权的价值=SN（d1）-Ke-rtN（d2）
其中，。
使用布莱克-斯科尔斯模型对期权进行估值的过程包括以下步骤：
步骤1：使用布莱克-斯科尔斯模型的输入变量来估计d1和d2。
步骤2：估计与这些标准正态变量对应的累积正态分布函数N（d1）和N（d2）。
步骤3：采用针对连续时间的现值公式估算期权执行价格的现值：
执行价格的现值=Ke-rt
步骤4：根据布莱克-斯科尔斯模型估算看涨期权的价值。
在布莱克-斯科尔斯模型中，决定价值的因素与二项式模型完全相同，包括股票价格的当前价值、股票价格的变动、期权的到期时间、执行价格和无风险利率。在二项式估值模型中，复制组合的原则同样是布莱克-斯科尔斯模型。事实上，内嵌于布莱克-斯科尔斯模型中的就是复制组合：
看涨期权的价值=SN（d1）-Ke-rtN（d2）
购买N（d1）的股份 借入该金额的负债
N（d1）是创建复制组合所需要的股份数量，被称为期权变化率（option delta）。该复制型组合采取自我融资——资金全部来自内部，与期权在有效期内各阶段的价值相同。
模型的局限性及修正 上述布莱克-斯科尔斯模型的版本并未考虑到提前行使期权或支付股息的可能性，但这两者实际上都会影响到期权的价值。尽管对这两个因素的调整还不够完善，但毕竟可以对价值进行一定程度的修正。
股息 支付股息会降低股票的价格，因此随着股息支付的增加，看涨期权的价值会降低，而期权则更有价值。处理股息的方法之一，就是估计期权的标的资产在有效期内支付的预期股息现值，并将这个数值从当前资产价值中扣除，从而取得上述模型中的变量S。但随着期权期限的延长，这种做法显然会愈加不可行，因此，我们建议采用另一种替代方法。如果标的资产的股息支付率在期权期限内预期保持不变，那么我们即可修订布莱克-斯科尔斯模型，以考虑股息的影响：
从直观角度来看，上述修正会带来两个效果。首先，将资产价值按股息支付率折回到现在，以考虑股息支付造成的预期价值下降。其次，在利率中扣除股息支付率，以反映持有（复制组合中）股票的低成本。调整的最终累积净效应反映为看涨期权价值的减少和看跌期权价值的增加。
提前行权 布莱克-斯科尔斯模型针对欧式期权的估值，而我们考虑的大多数期权均为美式期权，即可在到期前的任何时候行权。即使不深究该估值模型的机制，我们也可以判断，在考虑提前行权的情况下，美式期权的价值至少不低于欧式期权，而且高于欧式期权的可能性更大。我们可以通过三种基本方法处理提前行权的可能性。第一种方法是继续使用未经调整的布莱克-斯科尔斯模型，并将估值结果值视为真实价值的底线或保守估计值。第二种方法是评估期权在每个可能行权日的价值。对于股票期权，这种方法的基本要求就是评估期权在每个除息日的价值，并以最大值作为看涨期权的估计值。第三种方法则是使用二项式模型的修订版本反映提前行权的可能性。
尽管很难估计出二项式中每个节点的价格，但我们可以使用依据历史数据估计到的方差，来计算二项式中的预期上涨及下跌变动率。为说明这一点，我们假设σ2为股票价格的对数方差，则二项式中的价格上涨及下跌变动率可按如下公式得到：
其中，u和d是二项式中单位时间的价格上涨及下跌变动量，T是期权的有效期限，m为该期限内的期间数量。用u乘以每个期间的股票价格，即可得到价格在该期间内的上涨和下跌量。据此，我们就可以对资产进行估值。
行权对标的资产价值的影响 针对布莱克-斯科尔斯模型的演化均基于这样一个假设：执行期权不会影响标的资产价值的假设。对上市公司股票期权而言，这有可能是正确的，但某些类型的期权显然不会如此。例如，执行认股权证会增加已发行股票的数量，从而为公司带来新的现金流。显然，上述两种情况都会影响到股票价格。[3]
与其他类似看涨期权相比，行权（稀释）的预期负面影响会降低认股权证的价值。布莱克-斯科尔斯模型对股票价格的稀释调整非常简单，只需根据期权行权的预期稀释进行股票价格调整即可，对认股权证而言，上述调整表述为：
式中 S——股票的当前价值；
W——未执行认股权证的市值；
nw——未执行认股权证的数量；
ns——流通股的数量。
在执行认股权证时，流通股数量增加，股价下跌。分子反映了包括流通股股票和未执行权证在内的股票市场价值。S的减少会降低看涨期权的价值。
由于需要以权证价值来估计稀释调整后的S，而估计权证价值也需要稀释调整后的S，因此，上述分析具有循环性。为了解决这个问题，我们可以首先使用认股权证的某个估计值（如行权价值）开始分析，而后用认股权证的新估计值进行迭代计算，直到按模型得到的认股权证估值结果与事先设定的估计值趋于一致。
对看跌期权的估值 看跌期权的价值可以通过套利关系，借助具有相同执行价格和相同到期日的看涨期权估值模型得出，该套利关系表述为：
C-P=S-Ke-rt
其中，C为看涨期权的价值，P为看跌期权的价值（具有相同的期限和执行价格）。
上述套利关系的推导非常简单，被称为买权-卖权平价公式（put-call parity）。为说明买权-卖权平价公式的原理，不妨考虑如下组合：
（1）卖出一个看涨期权，并买入一个具有相同执行价格K和同一到期日“t”的看跌期权；
（2）以当前股票价格S购买股票。
上述组合头寸的收益是无风险的，且在到期日（t）总是得到执行价格K。为体现这个过程，我们假设到期日的股票价格为S*：
由于上述头寸可得到确定的收益K，因此，其价值应等于K按无风险利率e-rt折现后得到的现值：
S+P-C=Ke-rt
C-P=S-Ke-rt
我们可以采用上述关系对看跌期权进行估值。也就是说，以针对等价看涨期权的布莱克-斯科尔斯模型估计看跌期权的价值：
看跌期权的价值=Se-yt[N（d1）-1]-Ke-rt[N（d2）-1]
其中，。
[1] 尽管提前行权通常不是最优选择，但这个规则至少存在两种例外情况。一种情况是标的资产支付大量股息，从而降低了资产的价值，进而减少了以该资产为基础的看涨期权的价值。在这种情况下，如果期权的时间溢价低于因支付股息而带来的预期资产贬值，那么持有者可以赶在除息日之前执行看涨期权。另一种例外是，在市场处于高利率时，如果投资者同时持有标的资产和执行价格远低于市场价格的深度看跌期权（deep in-the-money put），就会出现这种情况。此时，看跌期权的时间溢价可能低于提前执行该期权和赚取执行价格利息所带来的潜在收益。
[2] 由于上市公司股东承担的责任是有限的，因此股票价格不可能低于零，而且正态分布要求某些无限负值的概率，使得股票价格本身不可能服从正态分布，在布莱克-斯科尔斯模型中，我们假设股票价格自然对数的分布服从对数性正态分布。正因为如此，该模型中使用的方差为股票价格的对数方差。
[3] 认股权证是由公司发行的一种看涨期权，它既可以作为管理层股权激励的一种方式，也可以是为了筹集股权资金。