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历史数据的不完整性
即使是对于美国这样的市场——拥有几十年之久的股票及债券收益率历史数据，采用历史股权溢价依旧会带来巨大的误差。本节将探讨以历史推导股权风险溢价带来的一些问题、坊间对这种不确定性采取的不当反应以及如何更准确地估计未来风险溢价。
背景设定
在传统的股权风险溢价估算方法中，我们需要计算在较长时期投资股票可以取得的平均收益率。然后，我们将这个数值与投资美国国债可实现的平均收益率进行比较。但在这个过程中，我们会遇到两个问题。首先是历史风险溢价，因为即使在很长的时间段内，历史数据也会出现严重噪声。其次，一个拥有较长时期历史收益率的市场很可能只是一个成功的幸存者，因此，利用这个市场的数据估算股权风险溢价，难免会出现偏差。
噪声估计 在上一节中，我们着重指出，在新兴市场，在较短时期内估计得到的风险溢价存在标准误差，而且我们将这些标准误差作为历史溢价不值得信赖的理由。如果使用更多的历史数据，风险溢价估计值的标准误差理应会有所减小，但即便采用80年甚至是100年的数据，标准误差仍然会居高不下。事实上，考虑到1926~2016年股价[1]的年均标准误差为20%，因此，我们可以针对不同估算期来估计与风险溢价估计值对应的标准误差[2]，结果如表7-5所示。
表7-5 历史风险溢价的标准误差
即便使用整个时间段（约90年），也会出现高达2.2%的明显标准误差。需要提醒的是，无论是按10年还是25年估算的标准误差，都有可能与实际风险溢价一样大，乃至更大。但我们认为，缩短估计区间所付出的代价似乎远远超过获得最新溢价所带来的好处。
那么，延长回溯时间（到1871年甚至更早之前）付出的代价是什么呢？首先，随着时间向前追溯，交易较为清淡，而且交易的保存还不完善，因此，来自较早时间段的数据可靠性更低。其次，而且更重要的是，市场本身会随着时间的推移而变化，导致风险溢价可能不适合现在。就波动性和风险而言，1871年的美国股票市场更像是今天的新兴市场。因此，使用较早数据得到的风险溢价可能与目前市场的相关性不大。
幸存者偏差 鉴于历史风险溢价法已得到广泛使用，因此，这种方法的诸多缺陷并未引起更多关注，这的确令人不可思议。首先看看它的基础假设：投资者的风险溢价不会随时间而变化，且（市场投资组合的）平均风险投资在估算时间段内保持稳定。在现实中，我们很难找到愿意始终坚守这一论点的人。而解决这个问题最显而易见的方法——以最近的时间段进行估计，又会直接引发第二个问题，即历史风险溢价估计值所固有的巨大噪声。如果这些标准误差出现在非常长的时期内，它们或许还是可以忍受的，但仅在较短时间就出现如此大的标准误差，显然是无法接受的。
即使可以得到时间足够长的历史数据，而且投资者的风险厌恶情绪在这段时间内不会出现系统性变化，但问题依旧存在。对于像美国这种股票市场历史悠久的市场，它们代表的是“幸存者市场”。换句话说，假设你在1926年投资于全球最大的股票市场，比如说美国，[3]那么，1926~2000年，对很多其他股票市场的投资注定会获得低于美国股市的风险溢价，部分投资或将导致投资者在此期间收益甚微，甚至遭遇亏损。因此，即便假设投资者具有理性并在价格中考虑风险因素，幸存者偏差依旧会导致历史溢价大于美国这种成熟市场的预期溢价。
估值难点
如果在较长时期内估计的股权风险溢价存在明显的标准误差（噪声），分析师该如何应对呢？有些人选择对噪声视而不见，并以知名数据服务机构提供的风险溢价估计值来搪塞外界的质疑。还有人将估计值中的噪声为己所用，最常见的方式是人为选择最适合个人偏差的溢价，然后以溢价处于合理区间为自己的选择做辩词。
·从外部获取溢价数据：一些数据服务机构为分析师提供风险溢价方面的数据。但最著名、历史最悠久的溢价数据机构还得算是伊博森联合咨询公司，这家总部位于芝加哥的服务公司采用20世纪70年代以来的美国股票及债券历史数据估算风险溢价。虽然伊博森联合咨询公司已不再提供此类估计值，但Duff-Phelps公司已接手数据更新的任务。由于这些股权风险溢价数据在业内广泛使用，而且可追溯到1926年的股票收益数据，因此，使用这些溢价的分析师很少会受到质疑。在此，我们无意评判伊博森联合咨询公司所提供的股权风险溢价数据质量如何，但是，将估值中最关键数据的决定权全部交由外部数据服务机构，丝毫不加判断，无疑是估值中不可饶恕的失职。
·有偏见的溢价：此前，我们就已经注意到，由历史数据推导出的股权风险溢价可能会出现明显的标准误差。从更务实的角度看，股票和债券收益率历史数据为我们提供的是股权风险溢价的区间值，而不是某个单一数字。有些分析师将股权风险溢价分布在较大数值区间这个事实发挥到了极致。如果想吹大企业价值，他们就可以在区间的底部（对应于较低的风险溢价）取值；如果想压低企业价值，他们就会把目光转移到区间的顶部（对应于较高的风险溢价）。但无论是哪种情况，他们的个人偏见都会左右估值采用的风险溢价。
估值方案
如果说即便是覆盖90年时间的股权风险溢价也难免嘈杂，并且股票市场的“幸存者偏差”会增加股权风险溢价，那么我们只能另辟蹊径，寻找缩小估计值误差范围的方法。在本节中，我们将着重探讨两种方法。首先是全球溢价法，我们将考察全球不同市场的股权风险溢价，并尝试以这些数据估计目标市场的股权风险溢价。其次是隐含溢价法，我们将彻底放弃历史风险溢价，并通过当前股票价格倒推出股权风险溢价。
全球溢价法
我们怎么才能减轻幸存者偏差呢？一种解决方案就是在较长时间段内同时观察多个股票市场的历史风险溢价。Dimson、Marsh和Staunton（2002，2006）在这个方面的探索无疑最具有代表性，他们估计了21个股票市场在1900~2016年的收益率，其研究结果归集于表7-6当中。[4]
表7-6 股票市场在1900~2016年的历史风险溢价
需要提醒的是，这21个市场的平均风险溢价水平远低于美国股市的风险溢价。比如说，这些市场的几何平均风险溢价仅为3.20%，远低于美国市场的同期值4.30%。同样的结论也适用于算术平均溢价，各国市场的算术平均溢价为4.20%，低于美国的5.50%。实际上，收益差异体现的恰恰是幸存者偏差，也就是说，如采用仅依赖美国数据的历史风险溢价，会导致未来数值偏高。
隐含溢价法
当投资者对一项资产进行定价时，他们言外之意就是在告诉你，他们需要这项资产必须达到怎样的预期收益率。因此，如果一项资产每年可得到的永久现金流为15美元，而投资者为该资产支付的价格为75美元，那么投资者就是在向全世界宣布，他的资产收益率将是。股息折现模型（DDM）最能体现隐含股权溢价的内涵。在DDM中，股权价值来自投资带来的预期股息的现值。在某些特殊情况下，如假设股息以固定速度永续增长，我们就能得到传统的稳态增长模型，即戈登模型（Gordon model）：
从本质上说，它就是按固定速度增长的股息的现值。在这个模型的四个输入变量中，有三个是可以直接取得或估计的，它们是：市场的当前水平（价值）、下一期的预期股息以及收益和股息的长期预期增长率。而唯一的“未知”元素就是投资者所要求的最低股权收益率；在解决这个问题时，我们可以取得股票的隐含预期收益率。这个隐含预期增长率减去无风险利率，即可得到隐含的股权风险溢价。
举例来说，假设标准普尔500指数的当前水平为900点，指数的预期股息收益率为2%，而收益和股息的长期预期增长率为7%，那么求解最低股权收益率的公式如下所示：
由此，我们得到r：
如果目前的无风险利率为6%，则投资者要求的最低收益率为3%。
将该模型延伸到更具一般性的条件，我们可做出如下变通：最初的模型将实际支付的股息视为唯一的股权现金流，调整之后，股权现金流将来自潜在股息，而不是实际股息。在笔者此前的研究（2002，2006）中，股权自由现金流（FCFE），或者说扣除税收、再投资需求和偿还债务后的现金流，即是衡量潜在股息的一个指标。[5]举个例子，在过去10年中，企业实际支付的股息仅为FCFE的一半。如果说这个现实让估值充满挑战，那我们还可转而求助于一种更简单的替代方案。当公司将FCFE的一部分用作留存现金时，随着时间的推移，它们会积蓄大量的现金余额，并利用这些现金进行股票回购。将股票回购和已支付股息总额加到一起，才能更好地体现股权现金流合计额。此外，还可以通过模型的扩展，纳入一个高成长阶段，即收入和股息的增长率（通常较高，但并非一贯如此）完全不同于稳定增长阶段。考虑到这些调整，我们可以将股权价值改写为如下公式：
在上述方程中，存在一个为期N年的高成长期，E（FCFEt）为第t年的预期股权自由现金流（潜在股息），ke为股权投资者的预期收益率，gN为第N年（成长期结束）之后的稳定增长率。根据目前的潜在股息和价格，我们可以求出投资者要求的最低收益率。该最低收益率减去无风险利率，即可得到一个更符合现实的股权风险溢价。
考虑到标准普尔500指数的悠久历史和普遍接受性，因此，在推导隐含股权风险溢价时，它显然应该是一个合乎逻辑的指数。在本节中，我们首先要估计2017年1月1日的隐含股权风险溢价。2016年12月31日，标准普尔500指数报收于2238.83点，截至2017年的12个月内，成分股公司支付股息和回购达到108.67。此外，对成分股公司在未来5年收益增长率的一致估计结果为5.54%，而且我们假设，以股息和回购形式返还的现金总额按这一比例同步增长。[6]考虑到这样的增长率显然是无法永久持续的，因此，我们采用了一个两阶段估值模式。也就是说，我们首先假设增长率在5年内保持在5.54%，之后，该增长率降至2.45%（即无风险利率）。[7]表7-7总结了未来5年的高成长期以及之后稳定增长期第一年的预期股息和回购。
表7-7 标准普尔500指数在2017年1月1日的预计现金流
如果我们假设，这些数值是对预期股息的合理估计，而且指数定价正确，那么，我们即可以将估计值改写为如下形式：
请注意，在上述方程中，最后一项是指数按2.45%的稳定增长率折现得到的终值。按照该方程，我们即可得到投资者要求的最低收益率r为8.14%；减去10年期国债利率（无风险利率），即可得到5.69%的隐含股权溢价。我们可以将这个过程在图7-2中加以描述。
图7-2 标准普尔500指数在2017年1月1日的隐含股权风险溢价
诚然，这种估算股权风险溢价的方法也难免存在标准误差，因为计算增长率的输入变量有可能不正确，但其标准误差毕竟要比使用历史风险溢价的情况小得多。例如，当我们对2017年1月的现金流和增长率采取不同的估计时，得到的股权风险溢价将为4.50%~6.16%，显然，这个区间比采用历史风险溢价得到的数值范围小得多。
[1] 有关股票收益率、长期债券收益率和短期债券收益率的历史数据，可查阅www.stern.nyu.edu~adamodar的“最新数据”。
[2] 这些标准误差的估计值有可能被低估了，因为它们的出发点是年收益率与时间不相关这一假设。但大量实证证据表明，收益率会随时间的推移而变化，这会显著增加这些标准误差的估计值。
[3] Jorion，Philippe and William N.Goetzmann，1999，“Global Stock Markets in the Twentieth Century，”Journal of Finance，54（3），953-980.他们研究了39个不同的股票市场，并得出如下结论：美国股市是1921年到20世纪末表现最佳的市场。除美国之外，他们还给出了所有被研究股票市场的几何平均股权溢价——3.84%。
[4] Dimson，E.，P.Marsh，and M.Staunton，2002，Triumph of the Optimists：101 Years of Global Investment Returns，Princeton University Press，NJ；Credit Suisse Global Investment Returns Sourcebook，2017。
[5] Damodaran，A.，2002，Investment Valuation，John Wiley and Sons；Damodaran，A.，2006，Damodaran on Valuation，John Wiley and Sons.
[6] 我们采用了分析师对个别公司做出的估计值的平均值（自下而上）。另外，我们也可以使用标准普尔500指数收益由高及低的估计值。
[7] 长期国债利率为预期通货膨胀率和预期实际利率之和。如果假设实际增长率等于实际利率，那么长期稳定增长率应等于长期国债利率。