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3.1.3 到期收益率
在计算利率的多种方法中，最重要的一种是到期收益率（yield to maturity）。利率通过从债务工具获得的现金流的现值和其现在的价值来计算。因为到期收益率的计算方法有着很好的经济含义，金融经济学家通常认为它是衡量利率最精确的方法。
为了更好地理解到期收益率，我们现在看看对于四种信贷市场工具，到期收益率是如何计算的。在这些例子中，计算到期收益率的关键一点是使得债务工具今天的价值和其未来收益的现值相等。
1.普通贷款
使用现值的概念，普通贷款的到期收益率是非常容易计算的。对于我们讨论过的一年期贷款，今天的价值是100美元，一年后的收入是110美元（100美元的本金加上10美元的利息）。我们可以通过这些信息计算到期收益率i来使得未来收入的现值同这个贷款今天的价值相等。
例3-2 普通贷款
如果皮特向他的姐姐借了100美元，而他的姐姐希望一年后他能偿还110美元，那么这个贷款的到期收益率是多少？
解答
这个贷款的到期收益率是10%。
式中，PV=100，FV=100，n=1，那么：
上面到期收益率的计算看上去很眼熟，因为它和用利息收入10美元去除以本金100美元的结果相同；也就是说，它和普通利率相同。要认识到很重要的一点那就是：普通贷款的利率与到期收益率相同。因此i同时代表到期收益率和普通利率。
2.固定支付贷款
再强调一次，这种类型的贷款在贷款到期前每年偿还固定的金额。举例来说，对于一个固定支付的抵押贷款，借款人每个月向银行偿付固定的金额直到到期日贷款被全部还清。在计算固定支付贷款的到期收益率时，我们遵从在普通贷款中使用的原则——让贷款今天的价值和其未来收入的现值相等。由于固定支付贷款包含不止一次偿付，所以它的现值是一系列收入现值的总和。
假设一项贷款的本金额为1 000美元，并且它要求在未来的25年每年偿付85.81美元。用如下方法计算来现值：在第1年年底，85.81美元现金支付的现值是85.81/（1+i）美元；在第2年年底，另一笔85.81美元的现金支付的现值是85.81/（1+i）2美元；依此类推，直到第25年年底，最后一次偿付的现值是85.81/（1+i）25美元。使贷款在今天的价值（1 000美元）和上述一系列现值的总和相等：
更一般地，对于任何固定支付贷款：
式中，LV为贷款价值；FP为每年固定的偿付金额；n为贷款年数。
对于固定支付贷款来说，贷款价值、每年固定的偿付金额和到期日前的贷款年数是已知的，只有到期收益率未知。因此我们可以通过这个等式解出到期收益率i。因为这个计算很复杂，所以许多计算器有程序通过确定的贷款价值、每年固定偿付金额和贷款年数来查到期收益率。举例来说，在上面的例子中，一个25年期，每年固定偿付85.81美元的贷款，通过解公式（3-2）得到期收益率是7%。房地产经纪人在手边通常有这样的一个计算器，这样他们就可以解出公式并很快地告知潜在的房屋购买者如果他们通过抵押贷款来购买房屋，每年（或者每月）的精确分期付款金额。
例3-3 固定支付贷款
你决定购买一所新房子，并且需要100 000美元的抵押贷款。你从银行借得了利率为7%的这笔贷款。那么如果还款期限是20年，你每年需要还给银行多少钱？
解答
每年你需要还给银行9 439.29美元。
式中，LV=100 000，i=0.07，n=20，那么：
用金融计算器计算出每年要支付的金额：
n=年数=20
PV=贷款金额（LV）=-100 000
FV=20年后的贷款金额=0
i=年利率=0.07
然后按下PMT键得出固定每年支付金额（FP）=9 439.29（美元）。
3.息票债券
计算息票债券的到期收益率，我们将应用前边使用过的相同的方法：使债券今天的价值和其未来收入的现值相等。由于息票债券也有不止一次的偿付，其现值是一系列利息支付的现值的总和加上最后支付的面值的现值。
一个面值是1 000美元，10年期，每年支付100美元（10%的息票利息）利息的息票债券的现值用如下的方法计算：在第1年年底，有一个现值是100/（1+i）美元的100美元的利息支付；在第2年年底，有另一个现值是100/（1+i）2美元的100美元的利息支付；依此类推直到到期日，那时有一个现值是100/（1+i）10美元的利息支付加上最后的现值为1 000/（1+i）10美元的面值偿付。让债券今天的价值（其现在的价值，用P表示）同其未来收入的现值相等：
更一般来说，对于任何息票债券：[1]
式中，P为息票债券的价格；C为每年的利息支付；F为债券的面值；n为债券到期年数。
在公式（3-3）中，利息支付的金额、债券的面值、债券到期年数以及息票债券的价格都是已知的，只有到期收益率未知。因此我们可以通过这个公式来计算到期收益率i。[2]如同固定支付贷款一样，这个到期收益率的计算也很复杂，所以商用软件和计算器建立了计算到期收益率的表格，可以通过表格来查出息票债券的到期收益率。
例3-4 息票债券
一张息票利率为10%，面值1 000美元，到期收益率为12.25%，期限为8年的息票债券，计算此债券的价格是多少？
解答
债券的价格是889.20美元。使用金融计算器来计算：
n=债券的到期年限=8
FV=债券的面值=1 000
i=年利率=12.25%
PMT=年利息支付金额=100
然后按下PV键得到债券的价格=889.20美元。
表3-1列出了几个不同价格下息票债券的到期收益率，从中可以观察到如下事实。
（1）当息票债券的价格和其面值相等的时候，其到期收益率和其息票利率也相等。
（2）息票债券的价格和其到期收益率负相关。当到期收益率上升的时候，债券的价格下降；当到期收益率下降的时候，债券的价格上升。
（3）当债券价格低于其面值的时候到期收益率将超过息票利率。
这三点对所有息票债券都适用，如果你仔细考虑我们计算到期收益率的过程，对这些结论你就不感到惊奇了。当你在利率10%的时候在银行存入1 000美元，你可以每年从中提取100美元的利息，并在10年后获得最初的1 000美元本金。这和你购买表3-1中的面值为1 000美元，息票利率为10%的10年期息票债券的效果是相同的。如果你按照面值购买这个债券，那么它提供给你的到期收益率就是10%，与息票利率相同。同理可知，对于息票债券，如果你按照面值购买，那么它提供的到期收益率和其息票利率一定相同。
我们很容易得出债券价格和到期收益率是负相关的。当到期收益率i上升的时候，债券价格公式中所有分母变量都会上升。因此，当用到期收益率衡量的利率上升的时候，就意味着债券的价格将下降。对这个现象的另一种解释是当利率升高的时候，意味着未来的利息支付和最后的本金支付贴现的价值降低，因此债券的价格必然会下降。
第三个事实，即当债券的价格低于其面值时，该债券的到期收益率大于息票利率，可以由事实1和事实2直接得出。到期收益率等于息票利率时债券价格等于面值；当到期收益率高于息票利率，债券的价格必然会降低，因此债券价格也就必然低于其面值。
有一种特别的息票债券值得讨论一下，因为它的到期收益率特别容易计算。这种债券称为永续年金（perpetuity），也称为永久年金（consol），这是一种没有到期日，没有本金偿付的永久债券，它只是永久地进行一个固定的利息支付C。计算永续年金的价格Pc时，公式（3-3）简化成如下形式：[3]
式中，Pc为永续年金（永久年金）的价格；C为每年的利息支付；ic为永续年金的到期收益率。
永续年金一个很好的特点是你可以很清晰地发现当利率上升的时候，债券价格将下降。举例来说，如果一个永续年金每年偿付100美元，而利率为10%，那么它的价格将是100/0.10=1 000美元。如果利率上升到20%，那么它的价格将会下降到100/0.20=500美元。我们也可以把公式写成下面的形式：
公式（3-5）描述了永续年金的到期收益率如何计算，同时也给出了息票债券到期收益率的近似算法。当息票债券距到期还有很长时间（如20年或者20年以上），该息票债券就很像一个一直支付固定息票利息的永续年金，因为20年之后的现金收入的贴现现值非常小，所以长期的息票债券的价值与拥有相同息票支付的永续年金的价值很接近。因此，公式（3-5）中ic与长期息票债券的到期收益率基本相等。正因为如此，ic（即每年偿付的债券利息除以债券的价格）也被称为当期收益率（current yield），并且被广泛用作长期息票债券利息率的近似值。
例3-5 永续年金
一个价格为2 000美元，每年偿付100美元的永续年金的到期收益率是多少？
解答
到期收益率是5%。
式中，C为每年偿付金额（100美元）；Pc为永续年金（永久年金）的价格（2 000美元）。
4.贴现债券
贴现债券的到期收益率的计算和普通债券的计算方法相似。让我们考虑一个贴现债券，比如说，一年期美国国债，将在一年后偿付1 000美元。如果当前此债券的购买价格是900美元，那么使这900美元同一年后的1 000美元的现值相等，使用公式（3-1），得到：
然后解出i：
更一般地，对所有一年期的贴现债券，其到期收益率可写成如下形式：
式中，F为贴现债券的面值；P为贴现债券的现行价格。
换言之，到期收益率等于一年后偿付金额相对于现行价格的增加值F-P除以现行价格P。在正常情况下，投资者持有这些债券会获得正的收益，也就是说债券会低于其面值销售。因此，F-P应该是正的，到期收益率也是正的。然而，事实并不总是这样，就像最近日本发生的反常情况所表明的一样（见专栏3-1）。
专栏3-1 全球视角：会有负利率国债吗？确实发生了
我们通常假设利率是正的。负利率意味着你愿意在今天为一个债券付出比你将来要得到的更多的钱（就像我们计算贴现债券到期收益率的公式里说明的那样）。负利率看起来是不可能存在的，因为你会选择自己持有现金，这样你至少可以在将来拥有和现在一样多的金额。
20世纪90年代后期日本发生的事件和2008年美国发生的金融危机告诉我们，上面的推理并不总是正确的。1998年11月，日本的6月期国债的利率变成了负数，为-0.004%。2008年，美国三个月期的国债利率在很短时间内是稍低于零的。负利率的出现是一件非常特别的事件。这是如何发生的呢？
在第4章我们会看到，经济的疲软以及金融危机时期安全投资转移使得利率处于一个非常低的水平，但这两个因素仍然不能解释为什么会存在负利率。答案是这样：大的投资者觉得持有这种国债来进行保值要比他们自己持有现金方便得多，因为这些国债通常是大面额的，而且可以通过电子方式存储。国债的这些优点使得一些投资者愿意持有它，即使是负利率也不在乎，虽然从货币角度看，他们自己持有现金可在将来拥有更多的收入。很明显，国债带来的方便是有限的，所以利率也只能稍稍低于零。
这个等式的一个重要特征就是它表明，对于贴现债券，到期收益率和债券的现行价格是负相关的。这和我们在讨论息票债券的时候得出的结论相同。举例来说，公式（3-6）指出，当债券的现行价格从900美元上升到950美元的时候，说明债券在其期限内的价值上升变小，到期收益率从11.1%下降到5.3%。同样的道理，到期收益率的下降，说明了贴现债券现行价格已经上升。
5.小结
现值的概念告诉我们你现在的1美元比未来的1美元更有价值，因为你可以使用这1美元获得利息。具体来讲，n年后收到的1美元在今天的价值仅为1/（1+i）n美元。债务工具的一系列未来现金流支付的现值等于每次支付现金流的现值总和。债务市场工具的到期收益率是使得未来收入的现值等于这些工具现行价格的利率。由于计算到期收益率的方法基于比较合理的经济原理，所以金融经济学家认为它是对利率最精确的描述。
我们对各种不同债券到期收益率的计算揭示了债券的现行价格同其利率是负相关的事实：当利率上升，债券的价格下降，反之亦然。
[1]绝大部分的息票债券每半年进行利息支付，而不是像这里假设的那样按年支付。这对计算的影响非常小，在这里被忽略。
[2]在其他地方，有时也叫做内部收益率。
[3]永续年金的价格计算公式是：
这个公式也可以写成如下形式：
式中x=1/（1+i）。你可能还记得高中代数上这个计算无穷和的公式。
式中，x＜1。因此：
通过适当的代数变换得到：