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3.3.4 久期计算
为了计算债券的有效到期期限，国家经济研究署的一个研究员弗雷德里克·麦考利在半个世纪以前就创造了久期这个概念。因为零息债券在债券到期前没有任何利息支付，所以把它的有效到期期限就定义为它实际的到期期限。麦考利发现他可以通过把息票债券分割成一系列的零息债券来得到息票债券的有效到期期限。一个面值为1 000美元，息票利率是10%的息票债券可以分成以下一系列零息债券：一个100美元的1年期零息债券（相当于1 000美元按照10%的息票利率在1年后进行的100美元的息票利息支付），一个100美元的2年期零息债券（相当于1 000美元按照10%的息票利率在2年后进行的100美元的息票利息的支付）……一个100美元的10年期零息债券（相当于1 000美元按照10%的息票利率在10年后进行的100美元的息票利息支付），以及一个1 000美元的10年期零息债券（相当于10年后的面值本金偿付）。这一系列零息债券按时间顺序排列如下：
在表3-3的第2列中列出了一系列的零息债券，用来计算息票利率是10%的10年期息票债券的久期。
为了得到这一系列零息债券的有效到期期限，我们通过对每个零息债券的价值所占总价值的百分比来对它们的有效到期期限进行加权求和。换一种说法，这一系列零息债券的久期就应该是每个零息债券有效到期期限通过其占总价值的百分比进行的加权平均。表3-3中我们通过几步做到这点。首先，我们在第3列中以利率10%计算每个零息债券的现值。然后在第4列中把每个现值除以1 000，也就是这些零息债券的总现值，来得到每个零息债券价值占总价值的百分比。需要注意的是，正如第4列最下面一行显示的那样，这些权重的总和一定要是100%。
为了得到这一系列零息债券的有效到期期限，我们把这些加权的到期期限在第5列相加，得到约6.76年。息票债券相当于一系列的零息债券，因此得出的这个数据就是息票利率为10%的10年期息票债券的有效到期期限。简而言之，我们看到久期就是一系列支付时期的加权平均值。
表3-3中对久期的计算可以写成下面的形式：
式中，DUR为久期；t为到现金支付的时间；CPt为在时间t进行的现金支付（包括利息和本金）；i为利率；n为债券的到期期限。
这个公式没有表3-3中计算的那么直观，但它的优点是易于编成程序输入计算器或者电脑，这样使得久期的计算变得非常容易。
如果计算一个息票利率为10%的11年期息票债券的久期，利率同样是10%，但此债券的久期是7.14年，要超过10年期债券的6.76年。于是我们就可以得出预期的结论：在其他条件相同的情况下，债券到期期限越长，它的久期也就越长。
你可能认为知道了息票债券的到期期限就足以计算它的久期了。然而，事实并非如此。为了看清这一点，并给你更多的计算久期的练习，在表3-4中我们再一次计算息票利率为10%的10年期息票债券的久期，不过利率变成了20%。表3-4的计算揭示了在更高的利率下，息票债券的久期从6.76年下降到5.72年。这个解释简单明了。当利率高的时候，未来的现金支付在计算现值的时候贴现得更厉害，而在总价值中的比重相对下降。表3-4中我们看到，这些现金支付的相对比重的降低使得债券的有效到期期限缩短。由此得出一个重要的结论：在其他条件相同的情况下，利率上升，债券的久期缩短。
息票债券的息票利率也同样影响它的久期。举例来说，一个息票利率是20%的10年期息票债券，当利率是10%的时候，通过同样的方法计算，得出它的久期是5.98年；而息票利率是10%的时候，久期是6.76年。关于这个的解释是，高的息票利率意味着债券持有期的前段时间就有相对更多的现金支付，因此债券的有效到期期限将缩短。这样我们得到了关于久期的第三个结论：在其他条件相同的情况下，息票利率越高，久期越短。
久期另外一个特点是它在被应用于证券投资的时候同样有用。我们的例子说明久期等于一系列现金支付的久期的加权平均（相应的零息债券的有效到期期限）。所以，如果我们计算两个不同的证券的久期，可以很容易地看出这个投资组合的久期就应该是两个证券久期的加权平均，其中每个证券的权重由其在投资组合中所占的比例决定。
例3-9 久期
一个金融机构的经理持有的投资组合中占比例25%的债券的久期为5年，另外75%债券的久期为10年。那么这个投资组合的久期是多少？
解答
久期是8.75年。
（0.25×5）+（0.75×10）=1.25+7.5=8.75（年）
我们现在看到证券投资组合的久期就等于投资组合中每个证券久期的加权平均，其中每个证券的权重由其在投资组合中所占的比例决定。久期的这个特点也经常被称作久期的可加性，而且这意味着证券投资组合的久期可以很容易地用其中每个证券的久期来计算，所以它是非常有用的一个特性。
总的来说，我们关于息票债券久期的计算说明了以下四个问题：
（1）在其他条件相同的情况下，债券的到期期限越长，它的久期越长。
（2）在其他条件相同的情况下，利率上升，息票债券的久期缩短。
（3）在其他条件相同的情况下，债券的息票利率越高，它的久期越短。
（4）久期的可加性。证券投资组合的久期等于投资组合中每个证券久期的加权平均，其中每个证券的权重由其在投资组合中所占的比例决定。